Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55967 / 43667
↖ ↑ ↗
← N 51.366636°
W 26.282043°		 ← 190.65 m → N 51.366636°
W 26.279297°		 →
↑
190.68 m
↓
↑
190.68 m
↓
N 51.364921°
W 26.282043°		 ← 190.66 m →
36 354 m²		 N 51.364921°
W 26.279297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426998138427734 y=0.333156585693359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426998138427734 × 217)
    floor (0.426998138427734 × 131072)
    floor (55967.5)     		tx = 55967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333156585693359 × 217)
    floor (0.333156585693359 × 131072)
    floor (43667.5)     		ty = 43667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55967 / 43667 ti = "17/55967/43667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55967/43667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55967 ÷ 217
    55967 ÷ 131072     		x = 0.426994323730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43667 ÷ 217
    43667 ÷ 131072     		y = 0.333152770996094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426994323730469 × 2 - 1) × π
    -0.146011352539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.45870819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333152770996094 × 2 - 1) × π
    0.333694458007812 × 3.1415926535     		Φ = 1.04833205779101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45870819} λ = -0.45870819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04833205779101))-π/2
    2×atan(2.85288869397295)-π/2
    2×1.23365662799946-π/2
    2.46731325599893-1.57079632675     		φ = 0.89651693
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45870819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.282043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89651693 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.366636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55967 KachelY 43667 -0.45870819 0.89651693 -26.282043 51.366636
    Oben rechts KachelX + 1 55968 KachelY 43667 -0.45866026 0.89651693 -26.279297 51.366636
    Unten links KachelX 55967 KachelY + 1 43668 -0.45870819 0.89648700 -26.282043 51.364921
    Unten rechts KachelX + 1 55968 KachelY + 1 43668 -0.45866026 0.89648700 -26.279297 51.364921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89651693-0.89648700) × R
    2.99299999999558e-05 × 6371000     		dl = 190.684029999719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89651693-0.89648700) × R
    2.99299999999558e-05 × 6371000     		dr = 190.684029999719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45870819--0.45866026) × cos(0.89651693) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.624334574600267 × 6371000     		do = 190.648073099241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45870819--0.45866026) × cos(0.89648700) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.624357954351171 × 6371000     		du = 190.655212387438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89651693)-sin(0.89648700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624334574600267-0.624357954351171)×R²
    abs(-0.45866026--0.45870819)×2.33797509039402e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33797509039402e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33797509039402e-05×40589641000000     		ar = 36354.2235670089m²