Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55964 / 86940
↖ ↑ ↗
← S 50.562304°
W 26.290283°		 ← 193.98 m → S 50.562304°
W 26.287537°		 →
↑
194 m
↓
↑
194 m
↓
S 50.564049°
W 26.290283°		 ← 193.97 m →
37 630 m²		 S 50.564049°
W 26.287537°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426975250244141 y=0.663303375244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426975250244141 × 217)
    floor (0.426975250244141 × 131072)
    floor (55964.5)     		tx = 55964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663303375244141 × 217)
    floor (0.663303375244141 × 131072)
    floor (86940.5)     		ty = 86940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55964 / 86940 ti = "17/55964/86940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55964/86940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55964 ÷ 217
    55964 ÷ 131072     		x = 0.426971435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86940 ÷ 217
    86940 ÷ 131072     		y = 0.663299560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426971435546875 × 2 - 1) × π
    -0.14605712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45885200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663299560546875 × 2 - 1) × π
    -0.32659912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.02604139946768
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45885200} λ = -0.45885200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02604139946768))-π/2
    2×atan(0.35842300945004)-π/2
    2×0.344158818462858-π/2
    0.688317636925716-1.57079632675     		φ = -0.88247869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45885200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.290283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88247869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.562304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55964 KachelY 86940 -0.45885200 -0.88247869 -26.290283 -50.562304
    Oben rechts KachelX + 1 55965 KachelY 86940 -0.45880407 -0.88247869 -26.287537 -50.562304
    Unten links KachelX 55964 KachelY + 1 86941 -0.45885200 -0.88250914 -26.290283 -50.564049
    Unten rechts KachelX + 1 55965 KachelY + 1 86941 -0.45880407 -0.88250914 -26.287537 -50.564049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88247869--0.88250914) × R
    3.04500000000152e-05 × 6371000     		dl = 193.996950000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88247869--0.88250914) × R
    3.04500000000152e-05 × 6371000     		dr = 193.996950000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45885200--0.45880407) × cos(-0.88247869) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.635238766106317 × 6371000     		do = 193.977799152814m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45885200--0.45880407) × cos(-0.88250914) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.635215248795416 × 6371000     		du = 193.970617859017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88247869)-sin(-0.88250914))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635238766106317-0.635215248795416)×R²
    abs(-0.45880407--0.45885200)×2.35173109015552e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35173109015552e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35173109015552e-05×40589641000000     		ar = 37630.4048316779m²