Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55962 / 43660
↖ ↑ ↗
← N 51.378638°
W 26.295777°		 ← 190.64 m → N 51.378638°
W 26.293030°		 →
↑
190.62 m
↓
↑
190.62 m
↓
N 51.376924°
W 26.295777°		 ← 190.65 m →
36 340 m²		 N 51.376924°
W 26.293030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426959991455078 y=0.333103179931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426959991455078 × 217)
    floor (0.426959991455078 × 131072)
    floor (55962.5)     		tx = 55962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333103179931641 × 217)
    floor (0.333103179931641 × 131072)
    floor (43660.5)     		ty = 43660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55962 / 43660 ti = "17/55962/43660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55962/43660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55962 ÷ 217
    55962 ÷ 131072     		x = 0.426956176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43660 ÷ 217
    43660 ÷ 131072     		y = 0.333099365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426956176757812 × 2 - 1) × π
    -0.146087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45894788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333099365234375 × 2 - 1) × π
    0.33380126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.04866761608835
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45894788} λ = -0.45894788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04866761608835))-π/2
    2×atan(2.85384616508031)-π/2
    2×1.23376136459464-π/2
    2.46752272918928-1.57079632675     		φ = 0.89672640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45894788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.295777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89672640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.378638°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55962 KachelY 43660 -0.45894788 0.89672640 -26.295777 51.378638
    Oben rechts KachelX + 1 55963 KachelY 43660 -0.45889994 0.89672640 -26.293030 51.378638
    Unten links KachelX 55962 KachelY + 1 43661 -0.45894788 0.89669648 -26.295777 51.376924
    Unten rechts KachelX + 1 55963 KachelY + 1 43661 -0.45889994 0.89669648 -26.293030 51.376924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89672640-0.89669648) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dl = 190.620320000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89672640-0.89669648) × R
    2.99200000000166e-05 × 6371000     		dr = 190.620320000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45894788--0.45889994) × cos(0.89672640) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.624170931936729 × 6371000     		do = 190.63786877314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45894788--0.45889994) × cos(0.89669648) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.624194307788729 × 6371000     		du = 190.645008360035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89672640)-sin(0.89669648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.624170931936729-0.624194307788729)×R²
    abs(-0.45889994--0.45894788)×2.33758519992966e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33758519992966e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33758519992966e-05×40589641000000     		ar = 36340.1320275843m²