Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55960 / 29093
↖ ↑ ↗
← N 70.225099°
W 26.301269°		 ← 103.33 m → N 70.225099°
W 26.298523°		 →
↑
103.34 m
↓
↑
103.34 m
↓
N 70.224169°
W 26.301269°		 ← 103.34 m →
10 678 m²		 N 70.224169°
W 26.298523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426944732666016 y=0.221965789794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426944732666016 × 217)
    floor (0.426944732666016 × 131072)
    floor (55960.5)     		tx = 55960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221965789794922 × 217)
    floor (0.221965789794922 × 131072)
    floor (29093.5)     		ty = 29093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55960 / 29093 ti = "17/55960/29093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55960/29093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55960 ÷ 217
    55960 ÷ 131072     		x = 0.42694091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29093 ÷ 217
    29093 ÷ 131072     		y = 0.221961975097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42694091796875 × 2 - 1) × π
    -0.1461181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45904375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221961975097656 × 2 - 1) × π
    0.556076049804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.74696443285371
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45904375} λ = -0.45904375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74696443285371))-π/2
    2×atan(5.73716067975139)-π/2
    2×1.39822775938662-π/2
    2.79645551877323-1.57079632675     		φ = 1.22565919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45904375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.301269°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22565919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.225099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55960 KachelY 29093 -0.45904375 1.22565919 -26.301269 70.225099
    Oben rechts KachelX + 1 55961 KachelY 29093 -0.45899581 1.22565919 -26.298523 70.225099
    Unten links KachelX 55960 KachelY + 1 29094 -0.45904375 1.22564297 -26.301269 70.224169
    Unten rechts KachelX + 1 55961 KachelY + 1 29094 -0.45899581 1.22564297 -26.298523 70.224169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22565919-1.22564297) × R
    1.62200000000112e-05 × 6371000     		dl = 103.337620000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22565919-1.22564297) × R
    1.62200000000112e-05 × 6371000     		dr = 103.337620000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45904375--0.45899581) × cos(1.22565919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338325730138565 × 6371000     		do = 103.333386488544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45904375--0.45899581) × cos(1.22564297) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.338340993585487 × 6371000     		du = 103.338048338115m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22565919)-sin(1.22564297))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338325730138565-0.338340993585487)×R²
    abs(-0.45899581--0.45904375)×1.52634469215429e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52634469215429e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52634469215429e-05×40589641000000     		ar = 10678.4670986713m²