Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55955 / 87063
↖ ↑ ↗
← S 50.776419°
W 26.315003°		 ← 193.14 m → S 50.776419°
W 26.312256°		 →
↑
193.11 m
↓
↑
193.11 m
↓
S 50.778155°
W 26.315003°		 ← 193.13 m →
37 295 m²		 S 50.778155°
W 26.312256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426906585693359 y=0.664241790771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426906585693359 × 217)
    floor (0.426906585693359 × 131072)
    floor (55955.5)     		tx = 55955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664241790771484 × 217)
    floor (0.664241790771484 × 131072)
    floor (87063.5)     		ty = 87063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55955 / 87063 ti = "17/55955/87063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55955/87063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55955 ÷ 217
    55955 ÷ 131072     		x = 0.426902770996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87063 ÷ 217
    87063 ÷ 131072     		y = 0.664237976074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426902770996094 × 2 - 1) × π
    -0.146194458007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.45928344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664237976074219 × 2 - 1) × π
    -0.328475952148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.03193763812095
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45928344} λ = -0.45928344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03193763812095))-π/2
    2×atan(0.35631588002113)-π/2
    2×0.3422903207155-π/2
    0.684580641431-1.57079632675     		φ = -0.88621569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45928344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.315003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88621569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.776419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55955 KachelY 87063 -0.45928344 -0.88621569 -26.315003 -50.776419
    Oben rechts KachelX + 1 55956 KachelY 87063 -0.45923550 -0.88621569 -26.312256 -50.776419
    Unten links KachelX 55955 KachelY + 1 87064 -0.45928344 -0.88624600 -26.315003 -50.778155
    Unten rechts KachelX + 1 55956 KachelY + 1 87064 -0.45923550 -0.88624600 -26.312256 -50.778155
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88621569--0.88624600) × R
    3.03099999999779e-05 × 6371000     		dl = 193.105009999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88621569--0.88624600) × R
    3.03099999999779e-05 × 6371000     		dr = 193.105009999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45928344--0.45923550) × cos(-0.88621569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632348193039548 × 6371000     		do = 193.13541479664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45928344--0.45923550) × cos(-0.88624600) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.632324712067988 × 6371000     		du = 193.128243103525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88621569)-sin(-0.88624600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632348193039548-0.632324712067988)×R²
    abs(-0.45923550--0.45928344)×2.34809715600193e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34809715600193e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34809715600193e-05×40589641000000     		ar = 37294.7237637196m²