Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55955 / 18571
↖ ↑ ↗
← N 77.982760°
W 26.315003°		 ← 63.59 m → N 77.982760°
W 26.312256°		 →
↑
63.58 m
↓
↑
63.58 m
↓
N 77.982188°
W 26.315003°		 ← 63.59 m →
4 043 m²		 N 77.982188°
W 26.312256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426906585693359 y=0.141689300537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426906585693359 × 217)
    floor (0.426906585693359 × 131072)
    floor (55955.5)     		tx = 55955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141689300537109 × 217)
    floor (0.141689300537109 × 131072)
    floor (18571.5)     		ty = 18571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55955 / 18571 ti = "17/55955/18571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55955/18571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55955 ÷ 217
    55955 ÷ 131072     		x = 0.426902770996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18571 ÷ 217
    18571 ÷ 131072     		y = 0.141685485839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426902770996094 × 2 - 1) × π
    -0.146194458007812 × 3.1415926535     		Λ = -0.45928344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141685485839844 × 2 - 1) × π
    0.716629028320312 × 3.1415926535     		Φ = 2.25135649065594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45928344} λ = -0.45928344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25135649065594))-π/2
    2×atan(9.50061459434917)-π/2
    2×1.46592612291427-π/2
    2.93185224582854-1.57079632675     		φ = 1.36105592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45928344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.315003°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36105592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.982760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55955 KachelY 18571 -0.45928344 1.36105592 -26.315003 77.982760
    Oben rechts KachelX + 1 55956 KachelY 18571 -0.45923550 1.36105592 -26.312256 77.982760
    Unten links KachelX 55955 KachelY + 1 18572 -0.45928344 1.36104594 -26.315003 77.982188
    Unten rechts KachelX + 1 55956 KachelY + 1 18572 -0.45923550 1.36104594 -26.312256 77.982188
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36105592-1.36104594) × R
    9.98000000018706e-06 × 6371000     		dl = 63.5825800011918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36105592-1.36104594) × R
    9.98000000018706e-06 × 6371000     		dr = 63.5825800011918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45928344--0.45923550) × cos(1.36105592) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208206002645194 × 6371000     		do = 63.5914724303086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45928344--0.45923550) × cos(1.36104594) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.208215763923091 × 6371000     		du = 63.5944537758336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36105592)-sin(1.36104594))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208206002645194-0.208215763923091)×R²
    abs(-0.45923550--0.45928344)×9.76127789681369e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.76127789681369e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.76127789681369e-06×40589641000000     		ar = 4043.40466411003m²