Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55953 / 19168
↖ ↑ ↗
← N 77.636542°
W 26.320496°		 ← 65.40 m → N 77.636542°
W 26.317749°		 →
↑
65.37 m
↓
↑
65.37 m
↓
N 77.635954°
W 26.320496°		 ← 65.40 m →
4 275 m²		 N 77.635954°
W 26.317749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426891326904297 y=0.146244049072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426891326904297 × 217)
    floor (0.426891326904297 × 131072)
    floor (55953.5)     		tx = 55953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146244049072266 × 217)
    floor (0.146244049072266 × 131072)
    floor (19168.5)     		ty = 19168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55953 / 19168 ti = "17/55953/19168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55953/19168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55953 ÷ 217
    55953 ÷ 131072     		x = 0.426887512207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19168 ÷ 217
    19168 ÷ 131072     		y = 0.146240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426887512207031 × 2 - 1) × π
    -0.146224975585938 × 3.1415926535     		Λ = -0.45937931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146240234375 × 2 - 1) × π
    0.70751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22273816158276
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45937931} λ = -0.45937931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22273816158276))-π/2
    2×atan(9.23257657317856)-π/2
    2×1.46290479904407-π/2
    2.92580959808814-1.57079632675     		φ = 1.35501327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45937931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.320496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35501327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.636542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55953 KachelY 19168 -0.45937931 1.35501327 -26.320496 77.636542
    Oben rechts KachelX + 1 55954 KachelY 19168 -0.45933137 1.35501327 -26.317749 77.636542
    Unten links KachelX 55953 KachelY + 1 19169 -0.45937931 1.35500301 -26.320496 77.635954
    Unten rechts KachelX + 1 55954 KachelY + 1 19169 -0.45933137 1.35500301 -26.317749 77.635954
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35501327-1.35500301) × R
    1.02600000000397e-05 × 6371000     		dl = 65.3664600002528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35501327-1.35500301) × R
    1.02600000000397e-05 × 6371000     		dr = 65.3664600002528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45937931--0.45933137) × cos(1.35501327) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214112390816571 × 6371000     		do = 65.3954354082776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45937931--0.45933137) × cos(1.35500301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214122412865965 × 6371000     		du = 65.39849640013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35501327)-sin(1.35500301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214112390816571-0.214122412865965)×R²
    abs(-0.45933137--0.45937931)×1.00220493939041e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00220493939041e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00220493939041e-05×40589641000000     		ar = 4274.76815600364m²