Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55952 / 87024
↖ ↑ ↗
← S 50.708634°
W 26.323242°		 ← 193.42 m → S 50.708634°
W 26.320496°		 →
↑
193.42 m
↓
↑
193.42 m
↓
S 50.710374°
W 26.323242°		 ← 193.41 m →
37 410 m²		 S 50.710374°
W 26.320496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55952 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426883697509766 y=0.663944244384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426883697509766 × 217)
    floor (0.426883697509766 × 131072)
    floor (55952.5)     		tx = 55952
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663944244384766 × 217)
    floor (0.663944244384766 × 131072)
    floor (87024.5)     		ty = 87024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55952 / 87024 ti = "17/55952/87024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55952/87024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55952 ÷ 217
    55952 ÷ 131072     		x = 0.4268798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87024 ÷ 217
    87024 ÷ 131072     		y = 0.6639404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4268798828125 × 2 - 1) × π
    -0.146240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45942725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6639404296875 × 2 - 1) × π
    -0.327880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.03006809903577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45942725} λ = -0.45942725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03006809903577))-π/2
    2×atan(0.356982649567158)-π/2
    2×0.342881848664513-π/2
    0.685763697329026-1.57079632675     		φ = -0.88503263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45942725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.323242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88503263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.708634°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55952 KachelY 87024 -0.45942725 -0.88503263 -26.323242 -50.708634
    Oben rechts KachelX + 1 55953 KachelY 87024 -0.45937931 -0.88503263 -26.320496 -50.708634
    Unten links KachelX 55952 KachelY + 1 87025 -0.45942725 -0.88506299 -26.323242 -50.710374
    Unten rechts KachelX + 1 55953 KachelY + 1 87025 -0.45937931 -0.88506299 -26.320496 -50.710374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88503263--0.88506299) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dl = 193.423560000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88503263--0.88506299) × R
    3.0360000000007e-05 × 6371000     		dr = 193.423560000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45942725--0.45937931) × cos(-0.88503263) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633264248305253 × 6371000     		do = 193.415201654273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45942725--0.45937931) × cos(-0.88506299) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633240751327044 × 6371000     		du = 193.408025072316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88503263)-sin(-0.88506299))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633264248305253-0.633240751327044)×R²
    abs(-0.45937931--0.45942725)×2.34969782085814e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34969782085814e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34969782085814e-05×40589641000000     		ar = 37410.3628048387m²