Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55951 / 18575
↖ ↑ ↗
← N 77.980472°
W 26.325989°		 ← 63.59 m → N 77.980472°
W 26.323242°		 →
↑
63.58 m
↓
↑
63.58 m
↓
N 77.979900°
W 26.325989°		 ← 63.59 m →
4 043 m²		 N 77.979900°
W 26.323242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426876068115234 y=0.141719818115234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426876068115234 × 217)
    floor (0.426876068115234 × 131072)
    floor (55951.5)     		tx = 55951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141719818115234 × 217)
    floor (0.141719818115234 × 131072)
    floor (18575.5)     		ty = 18575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55951 / 18575 ti = "17/55951/18575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55951/18575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55951 ÷ 217
    55951 ÷ 131072     		x = 0.426872253417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18575 ÷ 217
    18575 ÷ 131072     		y = 0.141716003417969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426872253417969 × 2 - 1) × π
    -0.146255493164062 × 3.1415926535     		Λ = -0.45947518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.141716003417969 × 2 - 1) × π
    0.716567993164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.25116474305746
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45947518} λ = -0.45947518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.25116474305746))-π/2
    2×atan(9.49879304896067)-π/2
    2×1.46590615954173-π/2
    2.93181231908345-1.57079632675     		φ = 1.36101599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45947518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.325989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36101599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.980472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55951 KachelY 18575 -0.45947518 1.36101599 -26.325989 77.980472
    Oben rechts KachelX + 1 55952 KachelY 18575 -0.45942725 1.36101599 -26.323242 77.980472
    Unten links KachelX 55951 KachelY + 1 18576 -0.45947518 1.36100601 -26.325989 77.979900
    Unten rechts KachelX + 1 55952 KachelY + 1 18576 -0.45942725 1.36100601 -26.323242 77.979900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36101599-1.36100601) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dl = 63.5825799997771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36101599-1.36100601) × R
    9.97999999996502e-06 × 6371000     		dr = 63.5825799997771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45947518--0.45942725) × cos(1.36101599) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.208245057413113 × 6371000     		do = 63.5901334691001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45947518--0.45942725) × cos(1.36100601) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.20825481860803 × 6371000     		du = 63.593114167395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36101599)-sin(1.36100601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208245057413113-0.20825481860803)×R²
    abs(-0.45942725--0.45947518)×9.76119491649663e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.76119491649663e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.76119491649663e-06×40589641000000     		ar = 4043.31950858995m²