Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55949 / 17046
↖ ↑ ↗
← N 78.824360°
W 26.331482°		 ← 59.20 m → N 78.824360°
W 26.328735°		 →
↑
59.25 m
↓
↑
59.25 m
↓
N 78.823828°
W 26.331482°		 ← 59.20 m →
3 508 m²		 N 78.823828°
W 26.328735°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55949 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426860809326172 y=0.130054473876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426860809326172 × 217)
    floor (0.426860809326172 × 131072)
    floor (55949.5)     		tx = 55949
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130054473876953 × 217)
    floor (0.130054473876953 × 131072)
    floor (17046.5)     		ty = 17046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55949 / 17046 ti = "17/55949/17046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55949/17046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55949 ÷ 217
    55949 ÷ 131072     		x = 0.426856994628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17046 ÷ 217
    17046 ÷ 131072     		y = 0.130050659179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426856994628906 × 2 - 1) × π
    -0.146286010742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.45957106
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130050659179688 × 2 - 1) × π
    0.739898681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32446026257652
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45957106} λ = -0.45957106}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32446026257652))-π/2
    2×atan(10.2211618531631)-π/2
    2×1.4732704709948-π/2
    2.9465409419896-1.57079632675     		φ = 1.37574462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45957106} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.331482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37574462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.824360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55949 KachelY 17046 -0.45957106 1.37574462 -26.331482 78.824360
    Oben rechts KachelX + 1 55950 KachelY 17046 -0.45952312 1.37574462 -26.328735 78.824360
    Unten links KachelX 55949 KachelY + 1 17047 -0.45957106 1.37573532 -26.331482 78.823828
    Unten rechts KachelX + 1 55950 KachelY + 1 17047 -0.45952312 1.37573532 -26.328735 78.823828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37574462-1.37573532) × R
    9.30000000010089e-06 × 6371000     		dl = 59.2503000006428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37574462-1.37573532) × R
    9.30000000010089e-06 × 6371000     		dr = 59.2503000006428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45957106--0.45952312) × cos(1.37574462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193817261534006 × 6371000     		do = 59.1967805287585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45957106--0.45952312) × cos(1.37573532) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193826385175762 × 6371000     		du = 59.1995671237933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37574462)-sin(1.37573532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193817261534006-0.193826385175762)×R²
    abs(-0.45952312--0.45957106)×9.12364175581493e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.12364175581493e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.12364175581493e-06×40589641000000     		ar = 3507.50955871641m²