Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55943 / 87096
↖ ↑ ↗
← S 50.833698°
W 26.347962°		 ← 192.90 m → S 50.833698°
W 26.345215°		 →
↑
192.85 m
↓
↑
192.85 m
↓
S 50.835432°
W 26.347962°		 ← 192.89 m →
37 200 m²		 S 50.835432°
W 26.345215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87096 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426815032958984 y=0.664493560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426815032958984 × 217)
    floor (0.426815032958984 × 131072)
    floor (55943.5)     		tx = 55943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664493560791016 × 217)
    floor (0.664493560791016 × 131072)
    floor (87096.5)     		ty = 87096
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55943 / 87096 ti = "17/55943/87096"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55943/87096.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55943 ÷ 217
    55943 ÷ 131072     		x = 0.426811218261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87096 ÷ 217
    87096 ÷ 131072     		y = 0.66448974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426811218261719 × 2 - 1) × π
    -0.146377563476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.45985868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66448974609375 × 2 - 1) × π
    -0.3289794921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.03351955580841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45985868} λ = -0.45985868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03351955580841))-π/2
    2×atan(0.355752663226958)-π/2
    2×0.341790465745783-π/2
    0.683580931491567-1.57079632675     		φ = -0.88721540
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45985868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.347962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88721540 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.833698°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55943 KachelY 87096 -0.45985868 -0.88721540 -26.347962 -50.833698
    Oben rechts KachelX + 1 55944 KachelY 87096 -0.45981074 -0.88721540 -26.345215 -50.833698
    Unten links KachelX 55943 KachelY + 1 87097 -0.45985868 -0.88724567 -26.347962 -50.835432
    Unten rechts KachelX + 1 55944 KachelY + 1 87097 -0.45981074 -0.88724567 -26.345215 -50.835432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88721540--0.88724567) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dl = 192.850169999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88721540--0.88724567) × R
    3.02699999999989e-05 × 6371000     		dr = 192.850169999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45985868--0.45981074) × cos(-0.88721540) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631573417537511 × 6371000     		do = 192.89877841582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45985868--0.45981074) × cos(-0.88724567) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631549948430536 × 6371000     		du = 192.891610346455m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88721540)-sin(-0.88724567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631573417537511-0.631549948430536)×R²
    abs(-0.45981074--0.45985868)×2.3469106974594e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3469106974594e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3469106974594e-05×40589641000000     		ar = 37199.8710313118m²