Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55940 / 43548
↖ ↑ ↗
← N 51.570241°
W 26.356201°		 ← 189.84 m → N 51.570241°
W 26.353454°		 →
↑
189.86 m
↓
↑
189.86 m
↓
N 51.568534°
W 26.356201°		 ← 189.85 m →
36 043 m²		 N 51.568534°
W 26.353454°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55940 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426792144775391 y=0.332248687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426792144775391 × 217)
    floor (0.426792144775391 × 131072)
    floor (55940.5)     		tx = 55940
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332248687744141 × 217)
    floor (0.332248687744141 × 131072)
    floor (43548.5)     		ty = 43548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55940 / 43548 ti = "17/55940/43548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55940/43548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55940 ÷ 217
    55940 ÷ 131072     		x = 0.426788330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43548 ÷ 217
    43548 ÷ 131072     		y = 0.332244873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426788330078125 × 2 - 1) × π
    -0.14642333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46000249
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332244873046875 × 2 - 1) × π
    0.33551025390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05403654884579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46000249} λ = -0.46000249}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05403654884579))-π/2
    2×atan(2.86920947863492)-π/2
    2×1.23543341802701-π/2
    2.47086683605402-1.57079632675     		φ = 0.90007051
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46000249} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.356201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90007051 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.570241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55940 KachelY 43548 -0.46000249 0.90007051 -26.356201 51.570241
    Oben rechts KachelX + 1 55941 KachelY 43548 -0.45995455 0.90007051 -26.353454 51.570241
    Unten links KachelX 55940 KachelY + 1 43549 -0.46000249 0.90004071 -26.356201 51.568534
    Unten rechts KachelX + 1 55941 KachelY + 1 43549 -0.45995455 0.90004071 -26.353454 51.568534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90007051-0.90004071) × R
    2.98000000000798e-05 × 6371000     		dl = 189.855800000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90007051-0.90004071) × R
    2.98000000000798e-05 × 6371000     		dr = 189.855800000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46000249--0.45995455) × cos(0.90007051) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621554734345096 × 6371000     		do = 189.83881468773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46000249--0.45995455) × cos(0.90004071) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.621578078517084 × 6371000     		du = 189.845944598734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90007051)-sin(0.90004071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621554734345096-0.621578078517084)×R²
    abs(-0.45995455--0.46000249)×2.33441719884597e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33441719884597e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33441719884597e-05×40589641000000     		ar = 36042.6768637075m²