Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55935 / 43545
↖ ↑ ↗
← N 51.575363°
W 26.369934°		 ← 189.78 m → N 51.575363°
W 26.367188°		 →
↑
189.79 m
↓
↑
189.79 m
↓
N 51.573656°
W 26.369934°		 ← 189.78 m →
36 019 m²		 N 51.573656°
W 26.367188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55935 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426753997802734 y=0.332225799560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426753997802734 × 217)
    floor (0.426753997802734 × 131072)
    floor (55935.5)     		tx = 55935
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332225799560547 × 217)
    floor (0.332225799560547 × 131072)
    floor (43545.5)     		ty = 43545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55935 / 43545 ti = "17/55935/43545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55935/43545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55935 ÷ 217
    55935 ÷ 131072     		x = 0.426750183105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43545 ÷ 217
    43545 ÷ 131072     		y = 0.332221984863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426750183105469 × 2 - 1) × π
    -0.146499633789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.46024217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332221984863281 × 2 - 1) × π
    0.335556030273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.05418035954465
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46024217} λ = -0.46024217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05418035954465))-π/2
    2×atan(2.86962213132644)-π/2
    2×1.23547810861995-π/2
    2.4709562172399-1.57079632675     		φ = 0.90015989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46024217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.369934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90015989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.575363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55935 KachelY 43545 -0.46024217 0.90015989 -26.369934 51.575363
    Oben rechts KachelX + 1 55936 KachelY 43545 -0.46019424 0.90015989 -26.367188 51.575363
    Unten links KachelX 55935 KachelY + 1 43546 -0.46024217 0.90013010 -26.369934 51.573656
    Unten rechts KachelX + 1 55936 KachelY + 1 43546 -0.46019424 0.90013010 -26.367188 51.573656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90015989-0.90013010) × R
    2.97899999999185e-05 × 6371000     		dl = 189.792089999481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90015989-0.90013010) × R
    2.97899999999185e-05 × 6371000     		dr = 189.792089999481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46024217--0.46019424) × cos(0.90015989) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.621484714185947 × 6371000     		do = 189.777833937907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46024217--0.46019424) × cos(0.90013010) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.621508052179321 × 6371000     		du = 189.78496047494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90015989)-sin(0.90013010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621484714185947-0.621508052179321)×R²
    abs(-0.46019424--0.46024217)×2.33379933743949e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.33379933743949e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.33379933743949e-05×40589641000000     		ar = 36019.0080214487m²