Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55930 / 17049
↖ ↑ ↗
← N 78.822763°
W 26.383667°		 ← 59.21 m → N 78.822763°
W 26.380920°		 →
↑
59.19 m
↓
↑
59.19 m
↓
N 78.822231°
W 26.383667°		 ← 59.21 m →
3 504 m²		 N 78.822231°
W 26.380920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426715850830078 y=0.130077362060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426715850830078 × 217)
    floor (0.426715850830078 × 131072)
    floor (55930.5)     		tx = 55930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130077362060547 × 217)
    floor (0.130077362060547 × 131072)
    floor (17049.5)     		ty = 17049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55930 / 17049 ti = "17/55930/17049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55930/17049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55930 ÷ 217
    55930 ÷ 131072     		x = 0.426712036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17049 ÷ 217
    17049 ÷ 131072     		y = 0.130073547363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426712036132812 × 2 - 1) × π
    -0.146575927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46048186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130073547363281 × 2 - 1) × π
    0.739852905273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.32431645187766
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46048186} λ = -0.46048186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32431645187766))-π/2
    2×atan(10.2196920464233)-π/2
    2×1.47325653351339-π/2
    2.94651306702679-1.57079632675     		φ = 1.37571674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46048186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.383667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37571674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.822763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55930 KachelY 17049 -0.46048186 1.37571674 -26.383667 78.822763
    Oben rechts KachelX + 1 55931 KachelY 17049 -0.46043392 1.37571674 -26.380920 78.822763
    Unten links KachelX 55930 KachelY + 1 17050 -0.46048186 1.37570745 -26.383667 78.822231
    Unten rechts KachelX + 1 55931 KachelY + 1 17050 -0.46043392 1.37570745 -26.380920 78.822231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37571674-1.37570745) × R
    9.29000000016167e-06 × 6371000     		dl = 59.18659000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37571674-1.37570745) × R
    9.29000000016167e-06 × 6371000     		dr = 59.18659000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46048186--0.46043392) × cos(1.37571674) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.193844612788335 × 6371000     		do = 59.2051343059205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46048186--0.46043392) × cos(1.37570745) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.193853726569528 × 6371000     		du = 59.2079178892856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37571674)-sin(1.37570745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193844612788335-0.193853726569528)×R²
    abs(-0.46043392--0.46048186)×9.11378119300421e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.11378119300421e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.11378119300421e-06×40589641000000     		ar = 3504.23238567685m²