Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55929 / 19193
↖ ↑ ↗
← N 77.621831°
W 26.386413°		 ← 65.46 m → N 77.621831°
W 26.383667°		 →
↑
65.43 m
↓
↑
65.43 m
↓
N 77.621242°
W 26.386413°		 ← 65.46 m →
4 283 m²		 N 77.621242°
W 26.383667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426708221435547 y=0.146434783935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426708221435547 × 217)
    floor (0.426708221435547 × 131072)
    floor (55929.5)     		tx = 55929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146434783935547 × 217)
    floor (0.146434783935547 × 131072)
    floor (19193.5)     		ty = 19193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55929 / 19193 ti = "17/55929/19193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55929/19193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55929 ÷ 217
    55929 ÷ 131072     		x = 0.426704406738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19193 ÷ 217
    19193 ÷ 131072     		y = 0.146430969238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426704406738281 × 2 - 1) × π
    -0.146591186523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.46052979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146430969238281 × 2 - 1) × π
    0.707138061523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.22153973909226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46052979} λ = -0.46052979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22153973909226))-π/2
    2×atan(9.22151867310952)-π/2
    2×1.46277642536954-π/2
    2.92555285073908-1.57079632675     		φ = 1.35475652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46052979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.386413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35475652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.621831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55929 KachelY 19193 -0.46052979 1.35475652 -26.386413 77.621831
    Oben rechts KachelX + 1 55930 KachelY 19193 -0.46048186 1.35475652 -26.383667 77.621831
    Unten links KachelX 55929 KachelY + 1 19194 -0.46052979 1.35474625 -26.386413 77.621242
    Unten rechts KachelX + 1 55930 KachelY + 1 19194 -0.46048186 1.35474625 -26.383667 77.621242
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35475652-1.35474625) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dl = 65.4301699998656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35475652-1.35474625) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dr = 65.4301699998656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46052979--0.46048186) × cos(1.35475652) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.214363179475459 × 6371000     		do = 65.4583756418448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46052979--0.46048186) × cos(1.35474625) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.214373210728001 × 6371000     		du = 65.4614388054844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35475652)-sin(1.35474625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214363179475459-0.214373210728001)×R²
    abs(-0.46048186--0.46052979)×1.00312525419533e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.00312525419533e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.00312525419533e-05×40589641000000     		ar = 4283.05285797157m²