Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55929 / 17036
↖ ↑ ↗
← N 78.829682°
W 26.386413°		 ← 59.16 m → N 78.829682°
W 26.383667°		 →
↑
59.12 m
↓
↑
59.12 m
↓
N 78.829150°
W 26.386413°		 ← 59.16 m →
3 498 m²		 N 78.829150°
W 26.383667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55929 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426708221435547 y=0.129978179931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426708221435547 × 217)
    floor (0.426708221435547 × 131072)
    floor (55929.5)     		tx = 55929
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129978179931641 × 217)
    floor (0.129978179931641 × 131072)
    floor (17036.5)     		ty = 17036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55929 / 17036 ti = "17/55929/17036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55929/17036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55929 ÷ 217
    55929 ÷ 131072     		x = 0.426704406738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17036 ÷ 217
    17036 ÷ 131072     		y = 0.129974365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426704406738281 × 2 - 1) × π
    -0.146591186523438 × 3.1415926535     		Λ = -0.46052979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129974365234375 × 2 - 1) × π
    0.74005126953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32493963157272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46052979} λ = -0.46052979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32493963157272))-π/2
    2×atan(10.2260627358324)-π/2
    2×1.47331691506722-π/2
    2.94663383013445-1.57079632675     		φ = 1.37583750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46052979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.386413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37583750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.829682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55929 KachelY 17036 -0.46052979 1.37583750 -26.386413 78.829682
    Oben rechts KachelX + 1 55930 KachelY 17036 -0.46048186 1.37583750 -26.383667 78.829682
    Unten links KachelX 55929 KachelY + 1 17037 -0.46052979 1.37582822 -26.386413 78.829150
    Unten rechts KachelX + 1 55930 KachelY + 1 17037 -0.46048186 1.37582822 -26.383667 78.829150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37583750-1.37582822) × R
    9.2800000000004e-06 × 6371000     		dl = 59.1228800000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37583750-1.37582822) × R
    9.2800000000004e-06 × 6371000     		dr = 59.1228800000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46052979--0.46048186) × cos(1.37583750) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.193726141921279 × 6371000     		do = 59.1566079611176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46052979--0.46048186) × cos(1.37582822) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.193735246109339 × 6371000     		du = 59.1593880344649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37583750)-sin(1.37582822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193726141921279-0.193735246109339)×R²
    abs(-0.46048186--0.46052979)×9.10418805960544e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.10418805960544e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.10418805960544e-06×40589641000000     		ar = 3497.59121658422m²