Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55928 / 43538
↖ ↑ ↗
← N 51.587310°
W 26.389160°		 ← 189.77 m → N 51.587310°
W 26.386413°		 →
↑
189.79 m
↓
↑
189.79 m
↓
N 51.585603°
W 26.389160°		 ← 189.77 m →
36 017 m²		 N 51.585603°
W 26.386413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426700592041016 y=0.332172393798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426700592041016 × 217)
    floor (0.426700592041016 × 131072)
    floor (55928.5)     		tx = 55928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332172393798828 × 217)
    floor (0.332172393798828 × 131072)
    floor (43538.5)     		ty = 43538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55928 / 43538 ti = "17/55928/43538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55928/43538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55928 ÷ 217
    55928 ÷ 131072     		x = 0.42669677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43538 ÷ 217
    43538 ÷ 131072     		y = 0.332168579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42669677734375 × 2 - 1) × π
    -0.1466064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46057773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332168579101562 × 2 - 1) × π
    0.335662841796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.054515917842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46057773} λ = -0.46057773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.054515917842))-π/2
    2×atan(2.87058521841974)-π/2
    2×1.23558236709079-π/2
    2.47116473418158-1.57079632675     		φ = 0.90036841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46057773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.389160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90036841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.587310°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55928 KachelY 43538 -0.46057773 0.90036841 -26.389160 51.587310
    Oben rechts KachelX + 1 55929 KachelY 43538 -0.46052979 0.90036841 -26.386413 51.587310
    Unten links KachelX 55928 KachelY + 1 43539 -0.46057773 0.90033862 -26.389160 51.585603
    Unten rechts KachelX + 1 55929 KachelY + 1 43539 -0.46052979 0.90033862 -26.386413 51.585603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90036841-0.90033862) × R
    2.97900000000295e-05 × 6371000     		dl = 189.792090000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90036841-0.90033862) × R
    2.97900000000295e-05 × 6371000     		dr = 189.792090000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46057773--0.46052979) × cos(0.90036841) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.621321340626122 × 6371000     		do = 189.767530238621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46057773--0.46052979) × cos(0.90033862) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.621344682479607 × 6371000     		du = 189.774659441494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90036841)-sin(0.90033862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.621321340626122-0.621344682479607)×R²
    abs(-0.46052979--0.46057773)×2.33418534849594e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33418534849594e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33418534849594e-05×40589641000000     		ar = 36017.0527138663m²