Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55927 / 17038
↖ ↑ ↗
← N 78.828618°
W 26.391907°		 ← 59.17 m → N 78.828618°
W 26.389160°		 →
↑
59.19 m
↓
↑
59.19 m
↓
N 78.828086°
W 26.391907°		 ← 59.18 m →
3 502 m²		 N 78.828086°
W 26.389160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55927 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426692962646484 y=0.129993438720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426692962646484 × 217)
    floor (0.426692962646484 × 131072)
    floor (55927.5)     		tx = 55927
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129993438720703 × 217)
    floor (0.129993438720703 × 131072)
    floor (17038.5)     		ty = 17038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55927 / 17038 ti = "17/55927/17038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55927/17038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55927 ÷ 217
    55927 ÷ 131072     		x = 0.426689147949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17038 ÷ 217
    17038 ÷ 131072     		y = 0.129989624023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426689147949219 × 2 - 1) × π
    -0.146621704101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.46062567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129989624023438 × 2 - 1) × π
    0.740020751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.32484375777348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46062567} λ = -0.46062567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32484375777348))-π/2
    2×atan(10.225082371343)-π/2
    2×1.47330762800001-π/2
    2.94661525600002-1.57079632675     		φ = 1.37581893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46062567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.391907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37581893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.828618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55927 KachelY 17038 -0.46062567 1.37581893 -26.391907 78.828618
    Oben rechts KachelX + 1 55928 KachelY 17038 -0.46057773 1.37581893 -26.389160 78.828618
    Unten links KachelX 55927 KachelY + 1 17039 -0.46062567 1.37580964 -26.391907 78.828086
    Unten rechts KachelX + 1 55928 KachelY + 1 17039 -0.46057773 1.37580964 -26.389160 78.828086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37581893-1.37580964) × R
    9.29000000016167e-06 × 6371000     		dl = 59.18659000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37581893-1.37580964) × R
    9.29000000016167e-06 × 6371000     		dr = 59.18659000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46062567--0.46057773) × cos(1.37581893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193744360091235 × 6371000     		do = 59.174514551653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46062567--0.46057773) × cos(1.37580964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19375347405641 × 6371000     		du = 59.1772981912109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37581893)-sin(1.37580964))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193744360091235-0.19375347405641)×R²
    abs(-0.46057773--0.46062567)×9.11396517516705e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.11396517516705e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.11396517516705e-06×40589641000000     		ar = 3502.42010835014m²