Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55926 / 17042
↖ ↑ ↗
← N 78.826490°
W 26.394654°		 ← 59.19 m → N 78.826490°
W 26.391907°		 →
↑
59.19 m
↓
↑
59.19 m
↓
N 78.825957°
W 26.394654°		 ← 59.19 m →
3 503 m²		 N 78.825957°
W 26.391907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55926 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426685333251953 y=0.130023956298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426685333251953 × 217)
    floor (0.426685333251953 × 131072)
    floor (55926.5)     		tx = 55926
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130023956298828 × 217)
    floor (0.130023956298828 × 131072)
    floor (17042.5)     		ty = 17042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55926 / 17042 ti = "17/55926/17042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55926/17042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55926 ÷ 217
    55926 ÷ 131072     		x = 0.426681518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17042 ÷ 217
    17042 ÷ 131072     		y = 0.130020141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426681518554688 × 2 - 1) × π
    -0.146636962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46067361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130020141601562 × 2 - 1) × π
    0.739959716796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.324652010175
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46067361} λ = -0.46067361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.324652010175))-π/2
    2×atan(10.2231219243155)-π/2
    2×1.47328905124483-π/2
    2.94657810248967-1.57079632675     		φ = 1.37578178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46067361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.394654°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37578178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.826490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55926 KachelY 17042 -0.46067361 1.37578178 -26.394654 78.826490
    Oben rechts KachelX + 1 55927 KachelY 17042 -0.46062567 1.37578178 -26.391907 78.826490
    Unten links KachelX 55926 KachelY + 1 17043 -0.46067361 1.37577249 -26.394654 78.825957
    Unten rechts KachelX + 1 55927 KachelY + 1 17043 -0.46062567 1.37577249 -26.391907 78.825957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37578178-1.37577249) × R
    9.29000000016167e-06 × 6371000     		dl = 59.18659000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37578178-1.37577249) × R
    9.29000000016167e-06 × 6371000     		dr = 59.18659000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46067361--0.46062567) × cos(1.37578178) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.193780806041153 × 6371000     		do = 59.1856460829453m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46067361--0.46062567) × cos(1.37577249) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.193789919939454 × 6371000     		du = 59.1884297020783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37578178)-sin(1.37577249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193780806041153-0.193789919939454)×R²
    abs(-0.46062567--0.46067361)×9.11389830157705e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.11389830157705e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.11389830157705e-06×40589641000000     		ar = 3503.07894520665m²