Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55925 / 17047
↖ ↑ ↗
← N 78.823828°
W 26.397400°		 ← 59.19 m → N 78.823828°
W 26.394654°		 →
↑
59.19 m
↓
↑
59.19 m
↓
N 78.823295°
W 26.397400°		 ← 59.19 m →
3 503 m²		 N 78.823295°
W 26.394654°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426677703857422 y=0.130062103271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426677703857422 × 217)
    floor (0.426677703857422 × 131072)
    floor (55925.5)     		tx = 55925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130062103271484 × 217)
    floor (0.130062103271484 × 131072)
    floor (17047.5)     		ty = 17047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55925 / 17047 ti = "17/55925/17047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55925/17047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55925 ÷ 217
    55925 ÷ 131072     		x = 0.426673889160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17047 ÷ 217
    17047 ÷ 131072     		y = 0.130058288574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426673889160156 × 2 - 1) × π
    -0.146652221679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.46072154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130058288574219 × 2 - 1) × π
    0.739883422851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.3244123256769
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46072154} λ = -0.46072154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3244123256769))-π/2
    2×atan(10.220671894097)-π/2
    2×1.47326582538615-π/2
    2.94653165077229-1.57079632675     		φ = 1.37573532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46072154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.397400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37573532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.823828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55925 KachelY 17047 -0.46072154 1.37573532 -26.397400 78.823828
    Oben rechts KachelX + 1 55926 KachelY 17047 -0.46067361 1.37573532 -26.394654 78.823828
    Unten links KachelX 55925 KachelY + 1 17048 -0.46072154 1.37572603 -26.397400 78.823295
    Unten rechts KachelX + 1 55926 KachelY + 1 17048 -0.46067361 1.37572603 -26.394654 78.823295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37573532-1.37572603) × R
    9.28999999993962e-06 × 6371000     		dl = 59.1865899996154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37573532-1.37572603) × R
    9.28999999993962e-06 × 6371000     		dr = 59.1865899996154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46072154--0.46067361) × cos(1.37573532) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.193826385175762 × 6371000     		do = 59.1872184448002m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46072154--0.46067361) × cos(1.37572603) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.193835498990413 × 6371000     		du = 59.1900014577432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37573532)-sin(1.37572603))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193826385175762-0.193835498990413)×R²
    abs(-0.46067361--0.46072154)×9.11381465118488e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.11381465118488e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.11381465118488e-06×40589641000000     		ar = 3503.17198993339m²