Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55919 / 43999
↖ ↑ ↗
← N 50.793783°
W 26.413879°		 ← 193.02 m → N 50.793783°
W 26.411133°		 →
↑
193.04 m
↓
↑
193.04 m
↓
N 50.792047°
W 26.413879°		 ← 193.03 m →
37 262 m²		 N 50.792047°
W 26.411133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426631927490234 y=0.335689544677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426631927490234 × 217)
    floor (0.426631927490234 × 131072)
    floor (55919.5)     		tx = 55919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335689544677734 × 217)
    floor (0.335689544677734 × 131072)
    floor (43999.5)     		ty = 43999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55919 / 43999 ti = "17/55919/43999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55919/43999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55919 ÷ 217
    55919 ÷ 131072     		x = 0.426628112792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43999 ÷ 217
    43999 ÷ 131072     		y = 0.335685729980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426628112792969 × 2 - 1) × π
    -0.146743774414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.46100916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335685729980469 × 2 - 1) × π
    0.328628540039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.03241700711715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46100916} λ = -0.46100916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03241700711715))-π/2
    2×atan(2.80784421915899)-π/2
    2×1.22865754199831-π/2
    2.45731508399661-1.57079632675     		φ = 0.88651876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46100916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.413879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88651876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.793783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55919 KachelY 43999 -0.46100916 0.88651876 -26.413879 50.793783
    Oben rechts KachelX + 1 55920 KachelY 43999 -0.46096123 0.88651876 -26.411133 50.793783
    Unten links KachelX 55919 KachelY + 1 44000 -0.46100916 0.88648846 -26.413879 50.792047
    Unten rechts KachelX + 1 55920 KachelY + 1 44000 -0.46096123 0.88648846 -26.411133 50.792047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88651876-0.88648846) × R
    3.02999999999276e-05 × 6371000     		dl = 193.041299999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88651876-0.88648846) × R
    3.02999999999276e-05 × 6371000     		dr = 193.041299999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46100916--0.46096123) × cos(0.88651876) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.632113380431673 × 6371000     		do = 193.023425038672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46100916--0.46096123) × cos(0.88648846) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.632136858881542 × 6371000     		du = 193.030594465786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88651876)-sin(0.88648846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.632113380431673-0.632136858881542)×R²
    abs(-0.46096123--0.46100916)×2.34784498692742e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34784498692742e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34784498692742e-05×40589641000000     		ar = 37262.1849004425m²