Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55915 / 17029
↖ ↑ ↗
← N 78.833406°
W 26.424866°		 ← 59.15 m → N 78.833406°
W 26.422119°		 →
↑
59.12 m
↓
↑
59.12 m
↓
N 78.832875°
W 26.424866°		 ← 59.15 m →
3 497 m²		 N 78.832875°
W 26.422119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55915 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426601409912109 y=0.129924774169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426601409912109 × 217)
    floor (0.426601409912109 × 131072)
    floor (55915.5)     		tx = 55915
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129924774169922 × 217)
    floor (0.129924774169922 × 131072)
    floor (17029.5)     		ty = 17029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55915 / 17029 ti = "17/55915/17029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55915/17029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55915 ÷ 217
    55915 ÷ 131072     		x = 0.426597595214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17029 ÷ 217
    17029 ÷ 131072     		y = 0.129920959472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426597595214844 × 2 - 1) × π
    -0.146804809570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.46120091
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.129920959472656 × 2 - 1) × π
    0.740158081054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.32527518987006
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46120091} λ = -0.46120091}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32527518987006))-π/2
    2×atan(10.229494751821)-π/2
    2×1.47334941292435-π/2
    2.94669882584871-1.57079632675     		φ = 1.37590250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46120091} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.424866°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37590250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.833406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55915 KachelY 17029 -0.46120091 1.37590250 -26.424866 78.833406
    Oben rechts KachelX + 1 55916 KachelY 17029 -0.46115297 1.37590250 -26.422119 78.833406
    Unten links KachelX 55915 KachelY + 1 17030 -0.46120091 1.37589322 -26.424866 78.832875
    Unten rechts KachelX + 1 55916 KachelY + 1 17030 -0.46115297 1.37589322 -26.422119 78.832875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37590250-1.37589322) × R
    9.2800000000004e-06 × 6371000     		dl = 59.1228800000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37590250-1.37589322) × R
    9.2800000000004e-06 × 6371000     		dr = 59.1228800000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46120091--0.46115297) × cos(1.37590250) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.193662372895042 × 6371000     		do = 59.1494735516537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46120091--0.46115297) × cos(1.37589322) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.19367147719994 × 6371000     		du = 59.1522542407146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37590250)-sin(1.37589322))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193662372895042-0.19367147719994)×R²
    abs(-0.46115297--0.46120091)×9.10430489875491e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.10430489875491e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.10430489875491e-06×40589641000000     		ar = 3497.16942806731m²