Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55914 / 15518
↖ ↑ ↗
← N 79.609205°
W 26.427612°		 ← 55.09 m → N 79.609205°
W 26.424866°		 →
↑
55.11 m
↓
↑
55.11 m
↓
N 79.608710°
W 26.427612°		 ← 55.09 m →
3 036 m²		 N 79.608710°
W 26.424866°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426593780517578 y=0.118396759033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426593780517578 × 217)
    floor (0.426593780517578 × 131072)
    floor (55914.5)     		tx = 55914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118396759033203 × 217)
    floor (0.118396759033203 × 131072)
    floor (15518.5)     		ty = 15518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55914 / 15518 ti = "17/55914/15518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55914/15518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55914 ÷ 217
    55914 ÷ 131072     		x = 0.426589965820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15518 ÷ 217
    15518 ÷ 131072     		y = 0.118392944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426589965820312 × 2 - 1) × π
    -0.146820068359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46124885
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118392944335938 × 2 - 1) × π
    0.763214111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39770784519597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46124885} λ = -0.46124885}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39770784519597))-π/2
    2×atan(10.9979384895716)-π/2
    2×1.48011953882628-π/2
    2.96023907765256-1.57079632675     		φ = 1.38944275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46124885} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.427612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38944275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.609205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55914 KachelY 15518 -0.46124885 1.38944275 -26.427612 79.609205
    Oben rechts KachelX + 1 55915 KachelY 15518 -0.46120091 1.38944275 -26.424866 79.609205
    Unten links KachelX 55914 KachelY + 1 15519 -0.46124885 1.38943410 -26.427612 79.608710
    Unten rechts KachelX + 1 55915 KachelY + 1 15519 -0.46120091 1.38943410 -26.424866 79.608710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38944275-1.38943410) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dl = 55.1091500003469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38944275-1.38943410) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dr = 55.1091500003469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46124885--0.46120091) × cos(1.38944275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180361117005241 × 6371000     		do = 55.0869276285161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46124885--0.46120091) × cos(1.38943410) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.180369625142484 × 6371000     		du = 55.0895262326295m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38944275)-sin(1.38943410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180361117005241-0.180369625142484)×R²
    abs(-0.46120091--0.46124885)×8.50813724267985e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.50813724267985e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.50813724267985e-06×40589641000000     		ar = 3035.86536121859m²