Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55912 / 86944
↖ ↑ ↗
← S 50.569283°
W 26.433105°		 ← 193.95 m → S 50.569283°
W 26.430359°		 →
↑
193.93 m
↓
↑
193.93 m
↓
S 50.571027°
W 26.433105°		 ← 193.94 m →
37 612 m²		 S 50.571027°
W 26.430359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55912 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426578521728516 y=0.663333892822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426578521728516 × 217)
    floor (0.426578521728516 × 131072)
    floor (55912.5)     		tx = 55912
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663333892822266 × 217)
    floor (0.663333892822266 × 131072)
    floor (86944.5)     		ty = 86944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55912 / 86944 ti = "17/55912/86944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55912/86944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55912 ÷ 217
    55912 ÷ 131072     		x = 0.42657470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86944 ÷ 217
    86944 ÷ 131072     		y = 0.663330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.1468505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46134472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663330078125 × 2 - 1) × π
    -0.32666015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.02623314706616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46134472} λ = -0.46134472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02623314706616))-π/2
    2×atan(0.358354289287412)-π/2
    2×0.34409792021838-π/2
    0.68819584043676-1.57079632675     		φ = -0.88260049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46134472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.433105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88260049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.569283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55912 KachelY 86944 -0.46134472 -0.88260049 -26.433105 -50.569283
    Oben rechts KachelX + 1 55913 KachelY 86944 -0.46129679 -0.88260049 -26.430359 -50.569283
    Unten links KachelX 55912 KachelY + 1 86945 -0.46134472 -0.88263093 -26.433105 -50.571027
    Unten rechts KachelX + 1 55913 KachelY + 1 86945 -0.46129679 -0.88263093 -26.430359 -50.571027
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88260049--0.88263093) × R
    3.0440000000076e-05 × 6371000     		dl = 193.933240000484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88260049--0.88263093) × R
    3.0440000000076e-05 × 6371000     		dr = 193.933240000484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46134472--0.46129679) × cos(-0.88260049) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.635144693328959 × 6371000     		do = 193.949072898552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46134472--0.46129679) × cos(-0.88263093) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.635121181386421 × 6371000     		du = 193.94189324405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88260049)-sin(-0.88263093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635144693328959-0.635121181386421)×R²
    abs(-0.46129679--0.46134472)×2.35119425383568e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.35119425383568e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.35119425383568e-05×40589641000000     		ar = 37612.4759182547m²