Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55910 / 17032
↖ ↑ ↗
← N 78.831811°
W 26.438599°		 ← 59.16 m → N 78.831811°
W 26.435852°		 →
↑
59.19 m
↓
↑
59.19 m
↓
N 78.831278°
W 26.438599°		 ← 59.16 m →
3 501 m²		 N 78.831278°
W 26.435852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17032 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426563262939453 y=0.129947662353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426563262939453 × 217)
    floor (0.426563262939453 × 131072)
    floor (55910.5)     		tx = 55910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.129947662353516 × 217)
    floor (0.129947662353516 × 131072)
    floor (17032.5)     		ty = 17032
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55910 / 17032 ti = "17/55910/17032"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55910/17032.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55910 ÷ 217
    55910 ÷ 131072     		x = 0.426559448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17032 ÷ 217
    17032 ÷ 131072     		y = 0.12994384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426559448242188 × 2 - 1) × π
    -0.146881103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46144060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.12994384765625 × 2 - 1) × π
    0.7401123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.3251313791712
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46144060} λ = -0.46144060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3251313791712))-π/2
    2×atan(10.2280237468074)-π/2
    2×1.4733354865813-π/2
    2.9466709731626-1.57079632675     		φ = 1.37587465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46144060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.438599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37587465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.831811°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55910 KachelY 17032 -0.46144060 1.37587465 -26.438599 78.831811
    Oben rechts KachelX + 1 55911 KachelY 17032 -0.46139266 1.37587465 -26.435852 78.831811
    Unten links KachelX 55910 KachelY + 1 17033 -0.46144060 1.37586536 -26.438599 78.831278
    Unten rechts KachelX + 1 55911 KachelY + 1 17033 -0.46139266 1.37586536 -26.435852 78.831278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37587465-1.37586536) × R
    9.29000000016167e-06 × 6371000     		dl = 59.18659000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37587465-1.37586536) × R
    9.29000000016167e-06 × 6371000     		dr = 59.18659000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46144060--0.46139266) × cos(1.37587465) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193689695570329 × 6371000     		do = 59.1578185999038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46144060--0.46139266) × cos(1.37586536) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.193698809635782 × 6371000     		du = 59.1606022700891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37587465)-sin(1.37586536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193689695570329-0.193698809635782)×R²
    abs(-0.46139266--0.46144060)×9.11406545298088e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.11406545298088e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.11406545298088e-06×40589641000000     		ar = 3501.43193289628m²