Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55909 / 86924
↖ ↑ ↗
← S 50.534380°
W 26.441345°		 ← 194.09 m → S 50.534380°
W 26.438599°		 →
↑
194.12 m
↓
↑
194.12 m
↓
S 50.536126°
W 26.441345°		 ← 194.09 m →
37 677 m²		 S 50.536126°
W 26.438599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426555633544922 y=0.663181304931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426555633544922 × 217)
    floor (0.426555633544922 × 131072)
    floor (55909.5)     		tx = 55909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663181304931641 × 217)
    floor (0.663181304931641 × 131072)
    floor (86924.5)     		ty = 86924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55909 / 86924 ti = "17/55909/86924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55909/86924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55909 ÷ 217
    55909 ÷ 131072     		x = 0.426551818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86924 ÷ 217
    86924 ÷ 131072     		y = 0.663177490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426551818847656 × 2 - 1) × π
    -0.146896362304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.46148853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663177490234375 × 2 - 1) × π
    -0.32635498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.02527440907376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46148853} λ = -0.46148853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02527440907376))-π/2
    2×atan(0.358698021907723)-π/2
    2×0.34440250163579-π/2
    0.68880500327158-1.57079632675     		φ = -0.88199132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46148853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.441345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88199132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.534380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55909 KachelY 86924 -0.46148853 -0.88199132 -26.441345 -50.534380
    Oben rechts KachelX + 1 55910 KachelY 86924 -0.46144060 -0.88199132 -26.438599 -50.534380
    Unten links KachelX 55909 KachelY + 1 86925 -0.46148853 -0.88202179 -26.441345 -50.536126
    Unten rechts KachelX + 1 55910 KachelY + 1 86925 -0.46144060 -0.88202179 -26.438599 -50.536126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88199132--0.88202179) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dl = 194.12437000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88199132--0.88202179) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dr = 194.12437000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46148853--0.46144060) × cos(-0.88199132) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.635615094203651 × 6371000     		do = 194.092715464787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46148853--0.46144060) × cos(-0.88202179) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.635591570882066 × 6371000     		du = 194.085532335555m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88199132)-sin(-0.88202179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.635615094203651-0.635591570882066)×R²
    abs(-0.46144060--0.46148853)×2.35233215852837e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35233215852837e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35233215852837e-05×40589641000000     		ar = 37677.4289039042m²