Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55909 / 15532
↖ ↑ ↗
← N 79.602268°
W 26.441345°		 ← 55.11 m → N 79.602268°
W 26.438599°		 →
↑
55.11 m
↓
↑
55.11 m
↓
N 79.601772°
W 26.441345°		 ← 55.11 m →
3 037 m²		 N 79.601772°
W 26.438599°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15532 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426555633544922 y=0.118503570556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426555633544922 × 217)
    floor (0.426555633544922 × 131072)
    floor (55909.5)     		tx = 55909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118503570556641 × 217)
    floor (0.118503570556641 × 131072)
    floor (15532.5)     		ty = 15532
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55909 / 15532 ti = "17/55909/15532"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55909/15532.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55909 ÷ 217
    55909 ÷ 131072     		x = 0.426551818847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15532 ÷ 217
    15532 ÷ 131072     		y = 0.118499755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426551818847656 × 2 - 1) × π
    -0.146896362304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.46148853
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118499755859375 × 2 - 1) × π
    0.76300048828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.39703672860129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46148853} λ = -0.46148853}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39703672860129))-π/2
    2×atan(10.9905600667119)-π/2
    2×1.48005899717749-π/2
    2.96011799435498-1.57079632675     		φ = 1.38932167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46148853} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.441345°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38932167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.602268°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55909 KachelY 15532 -0.46148853 1.38932167 -26.441345 79.602268
    Oben rechts KachelX + 1 55910 KachelY 15532 -0.46144060 1.38932167 -26.438599 79.602268
    Unten links KachelX 55909 KachelY + 1 15533 -0.46148853 1.38931302 -26.441345 79.601772
    Unten rechts KachelX + 1 55910 KachelY + 1 15533 -0.46144060 1.38931302 -26.438599 79.601772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38932167-1.38931302) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dl = 55.1091500003469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38932167-1.38931302) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dr = 55.1091500003469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46148853--0.46144060) × cos(1.38932167) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180480210026724 × 6371000     		do = 55.1118033086206m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46148853--0.46144060) × cos(1.38931302) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180488717975 × 6371000     		du = 55.1144013129773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38932167)-sin(1.38931302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180480210026724-0.180488717975)×R²
    abs(-0.46144060--0.46148853)×8.50794827608747e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.50794827608747e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.50794827608747e-06×40589641000000     		ar = 3037.23622234211m²