Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55907 / 86921
↖ ↑ ↗
← S 50.529143°
W 26.446839°		 ← 194.15 m → S 50.529143°
W 26.444092°		 →
↑
194.12 m
↓
↑
194.12 m
↓
S 50.530889°
W 26.446839°		 ← 194.15 m →
37 689 m²		 S 50.530889°
W 26.444092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55907 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426540374755859 y=0.663158416748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426540374755859 × 217)
    floor (0.426540374755859 × 131072)
    floor (55907.5)     		tx = 55907
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663158416748047 × 217)
    floor (0.663158416748047 × 131072)
    floor (86921.5)     		ty = 86921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55907 / 86921 ti = "17/55907/86921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55907/86921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55907 ÷ 217
    55907 ÷ 131072     		x = 0.426536560058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86921 ÷ 217
    86921 ÷ 131072     		y = 0.663154602050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426536560058594 × 2 - 1) × π
    -0.146926879882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.46158441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663154602050781 × 2 - 1) × π
    -0.326309204101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.0251305983749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46158441} λ = -0.46158441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0251305983749))-π/2
    2×atan(0.358749610230321)-π/2
    2×0.344448208298175-π/2
    0.68889641659635-1.57079632675     		φ = -0.88189991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46158441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.446839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88189991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.529143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55907 KachelY 86921 -0.46158441 -0.88189991 -26.446839 -50.529143
    Oben rechts KachelX + 1 55908 KachelY 86921 -0.46153647 -0.88189991 -26.444092 -50.529143
    Unten links KachelX 55907 KachelY + 1 86922 -0.46158441 -0.88193038 -26.446839 -50.530889
    Unten rechts KachelX + 1 55908 KachelY + 1 86922 -0.46153647 -0.88193038 -26.444092 -50.530889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88189991--0.88193038) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dl = 194.12437000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88189991--0.88193038) × R
    3.04700000000047e-05 × 6371000     		dr = 194.12437000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46158441--0.46153647) × cos(-0.88189991) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63568566062761 × 6371000     		do = 194.154763304674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46158441--0.46153647) × cos(-0.88193038) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.635662139076445 × 6371000     		du = 194.147579217504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88189991)-sin(-0.88193038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63568566062761-0.635662139076445)×R²
    abs(-0.46153647--0.46158441)×2.35215511646958e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35215511646958e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35215511646958e-05×40589641000000     		ar = 37689.4738087683m²