Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55903 / 15519
↖ ↑ ↗
← N 79.608710°
W 26.457824°		 ← 55.08 m → N 79.608710°
W 26.455078°		 →
↑
55.05 m
↓
↑
55.05 m
↓
N 79.608215°
W 26.457824°		 ← 55.08 m →
3 032 m²		 N 79.608215°
W 26.455078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426509857177734 y=0.118404388427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426509857177734 × 217)
    floor (0.426509857177734 × 131072)
    floor (55903.5)     		tx = 55903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118404388427734 × 217)
    floor (0.118404388427734 × 131072)
    floor (15519.5)     		ty = 15519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55903 / 15519 ti = "17/55903/15519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55903/15519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55903 ÷ 217
    55903 ÷ 131072     		x = 0.426506042480469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15519 ÷ 217
    15519 ÷ 131072     		y = 0.118400573730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426506042480469 × 2 - 1) × π
    -0.146987915039062 × 3.1415926535     		Λ = -0.46177615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118400573730469 × 2 - 1) × π
    0.763198852539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.39765990829635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46177615} λ = -0.46177615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39765990829635))-π/2
    2×atan(10.9974112951343)-π/2
    2×1.480115215748-π/2
    2.960230431496-1.57079632675     		φ = 1.38943410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46177615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.457824°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38943410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.608710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55903 KachelY 15519 -0.46177615 1.38943410 -26.457824 79.608710
    Oben rechts KachelX + 1 55904 KachelY 15519 -0.46172822 1.38943410 -26.455078 79.608710
    Unten links KachelX 55903 KachelY + 1 15520 -0.46177615 1.38942546 -26.457824 79.608215
    Unten rechts KachelX + 1 55904 KachelY + 1 15520 -0.46172822 1.38942546 -26.455078 79.608215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38943410-1.38942546) × R
    8.63999999989318e-06 × 6371000     		dl = 55.0454399993194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38943410-1.38942546) × R
    8.63999999989318e-06 × 6371000     		dr = 55.0454399993194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46177615--0.46172822) × cos(1.38943410) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.180369625142484 × 6371000     		do = 55.0780348838177m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46177615--0.46172822) × cos(1.38942546) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.180378123430257 × 6371000     		du = 55.0806299382237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38943410)-sin(1.38942546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180369625142484-0.180378123430257)×R²
    abs(-0.46172822--0.46177615)×8.49828777338413e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.49828777338413e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.49828777338413e-06×40589641000000     		ar = 3031.86608746106m²