Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55902 / 15523
↖ ↑ ↗
← N 79.606729°
W 26.460571°		 ← 55.10 m → N 79.606729°
W 26.457824°		 →
↑
55.11 m
↓
↑
55.11 m
↓
N 79.606233°
W 26.460571°		 ← 55.10 m →
3 037 m²		 N 79.606233°
W 26.457824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426502227783203 y=0.118434906005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426502227783203 × 217)
    floor (0.426502227783203 × 131072)
    floor (55902.5)     		tx = 55902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118434906005859 × 217)
    floor (0.118434906005859 × 131072)
    floor (15523.5)     		ty = 15523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55902 / 15523 ti = "17/55902/15523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55902/15523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55902 ÷ 217
    55902 ÷ 131072     		x = 0.426498413085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15523 ÷ 217
    15523 ÷ 131072     		y = 0.118431091308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426498413085938 × 2 - 1) × π
    -0.147003173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46182409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118431091308594 × 2 - 1) × π
    0.763137817382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.39746816069787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46182409} λ = -0.46182409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39746816069787))-π/2
    2×atan(10.9953027700878)-π/2
    2×1.48009792139639-π/2
    2.96019584279278-1.57079632675     		φ = 1.38939952
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46182409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.460571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38939952 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.606729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55902 KachelY 15523 -0.46182409 1.38939952 -26.460571 79.606729
    Oben rechts KachelX + 1 55903 KachelY 15523 -0.46177615 1.38939952 -26.457824 79.606729
    Unten links KachelX 55902 KachelY + 1 15524 -0.46182409 1.38939087 -26.460571 79.606233
    Unten rechts KachelX + 1 55903 KachelY + 1 15524 -0.46177615 1.38939087 -26.457824 79.606233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38939952-1.38939087) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dl = 55.1091500003469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38939952-1.38939087) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dr = 55.1091500003469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46182409--0.46177615) × cos(1.38939952) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.180403637884637 × 6371000     		do = 55.099914599635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46182409--0.46177615) × cos(1.38939087) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.180412145954426 × 6371000     		du = 55.1025131831463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38939952)-sin(1.38939087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180403637884637-0.180412145954426)×R²
    abs(-0.46177615--0.46182409)×8.50806978899832e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.50806978899832e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.50806978899832e-06×40589641000000     		ar = 3036.58106142626m²