Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5590 / 11829
↖ ↑ ↗
← S 62.155241°
W 57.172851°		 ← 1 141.17 m → S 62.155241°
W 57.150879°		 →
↑
1 140.98 m
↓
↑
1 140.98 m
↓
S 62.165502°
W 57.172851°		 ← 1 140.78 m →
1 301 835 m²		 S 62.165502°
W 57.150879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5590 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.341217041015625 y=0.722015380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.341217041015625 × 214)
    floor (0.341217041015625 × 16384)
    floor (5590.5)     		tx = 5590
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.722015380859375 × 214)
    floor (0.722015380859375 × 16384)
    floor (11829.5)     		ty = 11829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5590 / 11829 ti = "14/5590/11829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5590/11829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5590 ÷ 214
    5590 ÷ 16384     		x = 0.3411865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11829 ÷ 214
    11829 ÷ 16384     		y = 0.72198486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3411865234375 × 2 - 1) × π
    -0.317626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.99785450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72198486328125 × 2 - 1) × π
    -0.4439697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.39477203134515
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99785450} λ = -0.99785450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.39477203134515))-π/2
    2×atan(0.24788954097155)-π/2
    2×0.242991364512081-π/2
    0.485982729024162-1.57079632675     		φ = -1.08481360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99785450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.172851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08481360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.155241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5590 KachelY 11829 -0.99785450 -1.08481360 -57.172851 -62.155241
    Oben rechts KachelX + 1 5591 KachelY 11829 -0.99747101 -1.08481360 -57.150879 -62.155241
    Unten links KachelX 5590 KachelY + 1 11830 -0.99785450 -1.08499269 -57.172851 -62.165502
    Unten rechts KachelX + 1 5591 KachelY + 1 11830 -0.99747101 -1.08499269 -57.150879 -62.165502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08481360--1.08499269) × R
    0.000179090000000048 × 6371000     		dl = 1140.98239000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08481360--1.08499269) × R
    0.000179090000000048 × 6371000     		dr = 1140.98239000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99785450--0.99747101) × cos(-1.08481360) × R
    0.000383489999999931 × 0.4670775279652 × 6371000     		do = 1141.17072440101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99785450--0.99747101) × cos(-1.08499269) × R
    0.000383489999999931 × 0.46691916616662 × 6371000     		du = 1140.78381251255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08481360)-sin(-1.08499269))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4670775279652-0.46691916616662)×R²
    abs(-0.99747101--0.99785450)×0.000158361798580531×R²
    0.000383489999999931×0.000158361798580531×6371000²
    0.000383489999999931×0.000158361798580531×40589641000000     		ar = 1301834.97417929m²