Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55896 / 43742
↖ ↑ ↗
← N 51.237847°
W 26.477051°		 ← 191.18 m → N 51.237847°
W 26.474304°		 →
↑
191.26 m
↓
↑
191.26 m
↓
N 51.236127°
W 26.477051°		 ← 191.19 m →
36 566 m²		 N 51.236127°
W 26.474304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55896 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426456451416016 y=0.333728790283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426456451416016 × 217)
    floor (0.426456451416016 × 131072)
    floor (55896.5)     		tx = 55896
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333728790283203 × 217)
    floor (0.333728790283203 × 131072)
    floor (43742.5)     		ty = 43742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55896 / 43742 ti = "17/55896/43742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55896/43742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55896 ÷ 217
    55896 ÷ 131072     		x = 0.42645263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43742 ÷ 217
    43742 ÷ 131072     		y = 0.333724975585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.1470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46211171
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333724975585938 × 2 - 1) × π
    0.332550048828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0447367903195
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46211171} λ = -0.46211171}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0447367903195))-π/2
    2×atan(2.84265021212057)-π/2
    2×1.23253272656692-π/2
    2.46506545313385-1.57079632675     		φ = 0.89426913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46211171} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.477051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89426913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.237847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55896 KachelY 43742 -0.46211171 0.89426913 -26.477051 51.237847
    Oben rechts KachelX + 1 55897 KachelY 43742 -0.46206378 0.89426913 -26.474304 51.237847
    Unten links KachelX 55896 KachelY + 1 43743 -0.46211171 0.89423911 -26.477051 51.236127
    Unten rechts KachelX + 1 55897 KachelY + 1 43743 -0.46206378 0.89423911 -26.474304 51.236127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89426913-0.89423911) × R
    3.0019999999964e-05 × 6371000     		dl = 191.25741999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89426913-0.89423911) × R
    3.0019999999964e-05 × 6371000     		dr = 191.25741999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46211171--0.46206378) × cos(0.89426913) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.626088880684499 × 6371000     		do = 191.183771566364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46211171--0.46206378) × cos(0.89423911) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.626112288548411 × 6371000     		du = 191.190919439205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89426913)-sin(0.89423911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626088880684499-0.626112288548411)×R²
    abs(-0.46206378--0.46211171)×2.34078639114177e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34078639114177e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34078639114177e-05×40589641000000     		ar = 36565.9984401268m²