Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55890 / 15553
↖ ↑ ↗
← N 79.591853°
W 26.493530°		 ← 55.17 m → N 79.591853°
W 26.490784°		 →
↑
55.17 m
↓
↑
55.17 m
↓
N 79.591357°
W 26.493530°		 ← 55.17 m →
3 044 m²		 N 79.591357°
W 26.490784°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55890 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426410675048828 y=0.118663787841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426410675048828 × 217)
    floor (0.426410675048828 × 131072)
    floor (55890.5)     		tx = 55890
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118663787841797 × 217)
    floor (0.118663787841797 × 131072)
    floor (15553.5)     		ty = 15553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55890 / 15553 ti = "17/55890/15553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55890/15553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55890 ÷ 217
    55890 ÷ 131072     		x = 0.426406860351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15553 ÷ 217
    15553 ÷ 131072     		y = 0.118659973144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426406860351562 × 2 - 1) × π
    -0.147186279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46239933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118659973144531 × 2 - 1) × π
    0.762680053710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.39603005370927
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46239933} λ = -0.46239933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39603005370927))-π/2
    2×atan(10.979501712861)-π/2
    2×1.47996810974041-π/2
    2.95993621948083-1.57079632675     		φ = 1.38913989
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46239933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.493530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38913989 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.591853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55890 KachelY 15553 -0.46239933 1.38913989 -26.493530 79.591853
    Oben rechts KachelX + 1 55891 KachelY 15553 -0.46235140 1.38913989 -26.490784 79.591853
    Unten links KachelX 55890 KachelY + 1 15554 -0.46239933 1.38913123 -26.493530 79.591357
    Unten rechts KachelX + 1 55891 KachelY + 1 15554 -0.46235140 1.38913123 -26.490784 79.591357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38913989-1.38913123) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dl = 55.1728599999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38913989-1.38913123) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dr = 55.1728599999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46239933--0.46235140) × cos(1.38913989) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.180659001964659 × 6371000     		do = 55.1663995776721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46239933--0.46235140) × cos(1.38913123) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.180667519464443 × 6371000     		du = 55.1690004986968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38913989)-sin(1.38913123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180659001964659-0.180667519464443)×R²
    abs(-0.46235140--0.46239933)×8.517499784505e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.517499784505e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.517499784505e-06×40589641000000     		ar = 3043.75979057025m²