Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55889 / 87121
↖ ↑ ↗
← S 50.877044°
W 26.496277°		 ← 192.72 m → S 50.877044°
W 26.493530°		 →
↑
192.66 m
↓
↑
192.66 m
↓
S 50.878777°
W 26.496277°		 ← 192.71 m →
37 128 m²		 S 50.878777°
W 26.493530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426403045654297 y=0.664684295654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426403045654297 × 217)
    floor (0.426403045654297 × 131072)
    floor (55889.5)     		tx = 55889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664684295654297 × 217)
    floor (0.664684295654297 × 131072)
    floor (87121.5)     		ty = 87121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55889 / 87121 ti = "17/55889/87121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55889/87121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55889 ÷ 217
    55889 ÷ 131072     		x = 0.426399230957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87121 ÷ 217
    87121 ÷ 131072     		y = 0.664680480957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426399230957031 × 2 - 1) × π
    -0.147201538085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.46244727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664680480957031 × 2 - 1) × π
    -0.329360961914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.03471797829891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46244727} λ = -0.46244727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03471797829891))-π/2
    2×atan(0.355326576601185)-π/2
    2×0.341412195648942-π/2
    0.682824391297884-1.57079632675     		φ = -0.88797194
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46244727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.496277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88797194 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.877044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55889 KachelY 87121 -0.46244727 -0.88797194 -26.496277 -50.877044
    Oben rechts KachelX + 1 55890 KachelY 87121 -0.46239933 -0.88797194 -26.493530 -50.877044
    Unten links KachelX 55889 KachelY + 1 87122 -0.46244727 -0.88800218 -26.496277 -50.878777
    Unten rechts KachelX + 1 55890 KachelY + 1 87122 -0.46239933 -0.88800218 -26.493530 -50.878777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88797194--0.88800218) × R
    3.02399999999592e-05 × 6371000     		dl = 192.65903999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88797194--0.88800218) × R
    3.02399999999592e-05 × 6371000     		dr = 192.65903999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46244727--0.46239933) × cos(-0.88797194) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630986679227666 × 6371000     		do = 192.719573433349m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46244727--0.46239933) × cos(-0.88800218) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.630963218938735 × 6371000     		du = 192.712408057242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88797194)-sin(-0.88800218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630986679227666-0.630963218938735)×R²
    abs(-0.46239933--0.46244727)×2.34602889309654e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34602889309654e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34602889309654e-05×40589641000000     		ar = 37128.4777724142m²