Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55888 / 19122
↖ ↑ ↗
← N 77.663564°
W 26.499024°		 ← 65.25 m → N 77.663564°
W 26.496277°		 →
↑
65.24 m
↓
↑
65.24 m
↓
N 77.662977°
W 26.499024°		 ← 65.26 m →
4 257 m²		 N 77.662977°
W 26.496277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19122 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426395416259766 y=0.145893096923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426395416259766 × 217)
    floor (0.426395416259766 × 131072)
    floor (55888.5)     		tx = 55888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145893096923828 × 217)
    floor (0.145893096923828 × 131072)
    floor (19122.5)     		ty = 19122
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55888 / 19122 ti = "17/55888/19122"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55888/19122.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55888 ÷ 217
    55888 ÷ 131072     		x = 0.4263916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19122 ÷ 217
    19122 ÷ 131072     		y = 0.145889282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4263916015625 × 2 - 1) × π
    -0.147216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46249521
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145889282226562 × 2 - 1) × π
    0.708221435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.22494325896529
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46249521} λ = -0.46249521}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22494325896529))-π/2
    2×atan(9.25295776661361)-π/2
    2×1.46314061431081-π/2
    2.92628122862163-1.57079632675     		φ = 1.35548490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46249521} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.499024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35548490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.663564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55888 KachelY 19122 -0.46249521 1.35548490 -26.499024 77.663564
    Oben rechts KachelX + 1 55889 KachelY 19122 -0.46244727 1.35548490 -26.496277 77.663564
    Unten links KachelX 55888 KachelY + 1 19123 -0.46249521 1.35547466 -26.499024 77.662977
    Unten rechts KachelX + 1 55889 KachelY + 1 19123 -0.46244727 1.35547466 -26.496277 77.662977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35548490-1.35547466) × R
    1.02399999999392e-05 × 6371000     		dl = 65.2390399996126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35548490-1.35547466) × R
    1.02399999999392e-05 × 6371000     		dr = 65.2390399996126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46249521--0.46244727) × cos(1.35548490) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213651674577076 × 6371000     		do = 65.2547208098997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46249521--0.46244727) × cos(1.35547466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.213661678123298 × 6371000     		du = 65.2577761504074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35548490)-sin(1.35547466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213651674577076-0.213661678123298)×R²
    abs(-0.46244727--0.46249521)×1.00035462226589e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00035462226589e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00035462226589e-05×40589641000000     		ar = 4257.25500476967m²