Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55887 / 15585
↖ ↑ ↗
← N 79.575963°
W 26.501770°		 ← 55.25 m → N 79.575963°
W 26.499024°		 →
↑
55.30 m
↓
↑
55.30 m
↓
N 79.575466°
W 26.501770°		 ← 55.25 m →
3 055 m²		 N 79.575466°
W 26.499024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426387786865234 y=0.118907928466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426387786865234 × 217)
    floor (0.426387786865234 × 131072)
    floor (55887.5)     		tx = 55887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118907928466797 × 217)
    floor (0.118907928466797 × 131072)
    floor (15585.5)     		ty = 15585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55887 / 15585 ti = "17/55887/15585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55887/15585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55887 ÷ 217
    55887 ÷ 131072     		x = 0.426383972167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15585 ÷ 217
    15585 ÷ 131072     		y = 0.118904113769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426383972167969 × 2 - 1) × π
    -0.147232055664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.46254314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118904113769531 × 2 - 1) × π
    0.762191772460938 × 3.1415926535     		Φ = 2.39449607292143
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46254314} λ = -0.46254314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39449607292143))-π/2
    2×atan(10.9626722794872)-π/2
    2×1.47982944144421-π/2
    2.95965888288842-1.57079632675     		φ = 1.38886256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46254314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.501770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38886256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.575963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55887 KachelY 15585 -0.46254314 1.38886256 -26.501770 79.575963
    Oben rechts KachelX + 1 55888 KachelY 15585 -0.46249521 1.38886256 -26.499024 79.575963
    Unten links KachelX 55887 KachelY + 1 15586 -0.46254314 1.38885388 -26.501770 79.575466
    Unten rechts KachelX + 1 55888 KachelY + 1 15586 -0.46249521 1.38885388 -26.499024 79.575466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38886256-1.38885388) × R
    8.67999999987212e-06 × 6371000     		dl = 55.3002799991853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38886256-1.38885388) × R
    8.67999999987212e-06 × 6371000     		dr = 55.3002799991853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46254314--0.46249521) × cos(1.38886256) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180931761768248 × 6371000     		do = 55.2496900650626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46254314--0.46249521) × cos(1.38885388) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.180940298503692 × 6371000     		du = 55.2522968599272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38886256)-sin(1.38885388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180931761768248-0.180940298503692)×R²
    abs(-0.46249521--0.46254314)×8.53673544357059e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.53673544357059e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.53673544357059e-06×40589641000000     		ar = 3055.39540855679m²