Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55887 / 12879
↖ ↑ ↗
← N 80.838344°
W 26.501770°		 ← 48.62 m → N 80.838344°
W 26.499024°		 →
↑
48.67 m
↓
↑
48.67 m
↓
N 80.837907°
W 26.501770°		 ← 48.62 m →
2 367 m²		 N 80.837907°
W 26.499024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55887 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426387786865234 y=0.0982627868652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426387786865234 × 217)
    floor (0.426387786865234 × 131072)
    floor (55887.5)     		tx = 55887
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0982627868652344 × 217)
    floor (0.0982627868652344 × 131072)
    floor (12879.5)     		ty = 12879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55887 / 12879 ti = "17/55887/12879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55887/12879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55887 ÷ 217
    55887 ÷ 131072     		x = 0.426383972167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12879 ÷ 217
    12879 ÷ 131072     		y = 0.0982589721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426383972167969 × 2 - 1) × π
    -0.147232055664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.46254314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0982589721679688 × 2 - 1) × π
    0.803482055664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.5242133232933
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46254314} λ = -0.46254314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5242133232933))-π/2
    2×atan(12.481072831303)-π/2
    2×1.49084579616514-π/2
    2.98169159233028-1.57079632675     		φ = 1.41089527
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46254314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.501770°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41089527 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.838344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55887 KachelY 12879 -0.46254314 1.41089527 -26.501770 80.838344
    Oben rechts KachelX + 1 55888 KachelY 12879 -0.46249521 1.41089527 -26.499024 80.838344
    Unten links KachelX 55887 KachelY + 1 12880 -0.46254314 1.41088763 -26.501770 80.837907
    Unten rechts KachelX + 1 55888 KachelY + 1 12880 -0.46249521 1.41088763 -26.499024 80.837907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41089527-1.41088763) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dl = 48.6744399998436m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41089527-1.41088763) × R
    7.63999999997544e-06 × 6371000     		dr = 48.6744399998436m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46254314--0.46249521) × cos(1.41089527) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159220526402979 × 6371000     		do = 48.6199031601121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46254314--0.46249521) × cos(1.41088763) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.159228068935173 × 6371000     		du = 48.6222063630542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41089527)-sin(1.41088763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159220526402979-0.159228068935173)×R²
    abs(-0.46249521--0.46254314)×7.54253219392709e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.54253219392709e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.54253219392709e-06×40589641000000     		ar = 2366.60261266375m²