Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55885 / 43578
↖ ↑ ↗
← N 51.518998°
W 26.507263°		 ← 190.05 m → N 51.518998°
W 26.504517°		 →
↑
190.05 m
↓
↑
190.05 m
↓
N 51.517289°
W 26.507263°		 ← 190.06 m →
36 120 m²		 N 51.517289°
W 26.504517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426372528076172 y=0.332477569580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426372528076172 × 217)
    floor (0.426372528076172 × 131072)
    floor (55885.5)     		tx = 55885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332477569580078 × 217)
    floor (0.332477569580078 × 131072)
    floor (43578.5)     		ty = 43578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55885 / 43578 ti = "17/55885/43578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55885/43578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55885 ÷ 217
    55885 ÷ 131072     		x = 0.426368713378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43578 ÷ 217
    43578 ÷ 131072     		y = 0.332473754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426368713378906 × 2 - 1) × π
    -0.147262573242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.46263902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332473754882812 × 2 - 1) × π
    0.335052490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.05259844185719
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46263902} λ = -0.46263902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05259844185719))-π/2
    2×atan(2.86508621399041)-π/2
    2×1.2349862351382-π/2
    2.4699724702764-1.57079632675     		φ = 0.89917614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46263902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.507263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89917614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.518998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55885 KachelY 43578 -0.46263902 0.89917614 -26.507263 51.518998
    Oben rechts KachelX + 1 55886 KachelY 43578 -0.46259108 0.89917614 -26.504517 51.518998
    Unten links KachelX 55885 KachelY + 1 43579 -0.46263902 0.89914631 -26.507263 51.517289
    Unten rechts KachelX + 1 55886 KachelY + 1 43579 -0.46259108 0.89914631 -26.504517 51.517289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89917614-0.89914631) × R
    2.98300000000085e-05 × 6371000     		dl = 190.046930000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89917614-0.89914631) × R
    2.98300000000085e-05 × 6371000     		dr = 190.046930000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46263902--0.46259108) × cos(0.89917614) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.622255108948015 × 6371000     		do = 190.052727119324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46263902--0.46259108) × cos(0.89914631) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.62227846002842 × 6371000     		du = 190.059859140336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89917614)-sin(0.89914631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622255108948015-0.62227846002842)×R²
    abs(-0.46259108--0.46263902)×2.33510804048542e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33510804048542e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33510804048542e-05×40589641000000     		ar = 36119.6150391406m²