Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55885 / 12864
↖ ↑ ↗
← N 80.844901°
W 26.507263°		 ← 48.60 m → N 80.844901°
W 26.504517°		 →
↑
48.55 m
↓
↑
48.55 m
↓
N 80.844465°
W 26.507263°		 ← 48.60 m →
2 359 m²		 N 80.844465°
W 26.504517°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55885 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426372528076172 y=0.0981483459472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426372528076172 × 217)
    floor (0.426372528076172 × 131072)
    floor (55885.5)     		tx = 55885
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0981483459472656 × 217)
    floor (0.0981483459472656 × 131072)
    floor (12864.5)     		ty = 12864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55885 / 12864 ti = "17/55885/12864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55885/12864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55885 ÷ 217
    55885 ÷ 131072     		x = 0.426368713378906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12864 ÷ 217
    12864 ÷ 131072     		y = 0.09814453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426368713378906 × 2 - 1) × π
    -0.147262573242188 × 3.1415926535     		Λ = -0.46263902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09814453125 × 2 - 1) × π
    0.8037109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.5249323767876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46263902} λ = -0.46263902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5249323767876))-π/2
    2×atan(12.4900506177025)-π/2
    2×1.49090301989113-π/2
    2.98180603978225-1.57079632675     		φ = 1.41100971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46263902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.507263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41100971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.844901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55885 KachelY 12864 -0.46263902 1.41100971 -26.507263 80.844901
    Oben rechts KachelX + 1 55886 KachelY 12864 -0.46259108 1.41100971 -26.504517 80.844901
    Unten links KachelX 55885 KachelY + 1 12865 -0.46263902 1.41100209 -26.507263 80.844465
    Unten rechts KachelX + 1 55886 KachelY + 1 12865 -0.46259108 1.41100209 -26.504517 80.844465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41100971-1.41100209) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dl = 48.5470200006179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41100971-1.41100209) × R
    7.62000000009699e-06 × 6371000     		dr = 48.5470200006179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46263902--0.46259108) × cos(1.41100971) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.159107545266883 × 6371000     		do = 48.5955397527456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46263902--0.46259108) × cos(1.41100209) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.15911506819304 × 6371000     		du = 48.5978374480341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41100971)-sin(1.41100209))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159107545266883-0.15911506819304)×R²
    abs(-0.46259108--0.46263902)×7.5229261570775e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.5229261570775e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.5229261570775e-06×40589641000000     		ar = 2359.22441348167m²