Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55884 / 43596
↖ ↑ ↗
← N 51.488224°
W 26.510010°		 ← 190.18 m → N 51.488224°
W 26.507263°		 →
↑
190.17 m
↓
↑
190.17 m
↓
N 51.486514°
W 26.510010°		 ← 190.19 m →
36 168 m²		 N 51.486514°
W 26.507263°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55884 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426364898681641 y=0.332614898681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426364898681641 × 217)
    floor (0.426364898681641 × 131072)
    floor (55884.5)     		tx = 55884
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332614898681641 × 217)
    floor (0.332614898681641 × 131072)
    floor (43596.5)     		ty = 43596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55884 / 43596 ti = "17/55884/43596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55884/43596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55884 ÷ 217
    55884 ÷ 131072     		x = 0.426361083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43596 ÷ 217
    43596 ÷ 131072     		y = 0.332611083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426361083984375 × 2 - 1) × π
    -0.14727783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.46268696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332611083984375 × 2 - 1) × π
    0.33477783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.05173557766403
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46268696} λ = -0.46268696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05173557766403))-π/2
    2×atan(2.86261509995727)-π/2
    2×1.23471768363798-π/2
    2.46943536727596-1.57079632675     		φ = 0.89863904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46268696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.510010°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89863904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.488224°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55884 KachelY 43596 -0.46268696 0.89863904 -26.510010 51.488224
    Oben rechts KachelX + 1 55885 KachelY 43596 -0.46263902 0.89863904 -26.507263 51.488224
    Unten links KachelX 55884 KachelY + 1 43597 -0.46268696 0.89860919 -26.510010 51.486514
    Unten rechts KachelX + 1 55885 KachelY + 1 43597 -0.46263902 0.89860919 -26.507263 51.486514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89863904-0.89860919) × R
    2.98499999999979e-05 × 6371000     		dl = 190.174349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89863904-0.89860919) × R
    2.98499999999979e-05 × 6371000     		dr = 190.174349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46268696--0.46263902) × cos(0.89863904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.622675468855821 × 6371000     		do = 190.181115855011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46268696--0.46263902) × cos(0.89860919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.622698825612323 × 6371000     		du = 190.18824960965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89863904)-sin(0.89860919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622675468855821-0.622698825612323)×R²
    abs(-0.46263902--0.46268696)×2.33567565022241e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33567565022241e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33567565022241e-05×40589641000000     		ar = 36168.2484214223m²