Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55882 / 12875
↖ ↑ ↗
← N 80.840093°
W 26.515503°		 ← 48.62 m → N 80.840093°
W 26.512756°		 →
↑
48.61 m
↓
↑
48.61 m
↓
N 80.839656°
W 26.515503°		 ← 48.62 m →
2 364 m²		 N 80.839656°
W 26.512756°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426349639892578 y=0.0982322692871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426349639892578 × 217)
    floor (0.426349639892578 × 131072)
    floor (55882.5)     		tx = 55882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0982322692871094 × 217)
    floor (0.0982322692871094 × 131072)
    floor (12875.5)     		ty = 12875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55882 / 12875 ti = "17/55882/12875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55882/12875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55882 ÷ 217
    55882 ÷ 131072     		x = 0.426345825195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12875 ÷ 217
    12875 ÷ 131072     		y = 0.0982284545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426345825195312 × 2 - 1) × π
    -0.147308349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46278283
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0982284545898438 × 2 - 1) × π
    0.803543090820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.52440507089178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46278283} λ = -0.46278283}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52440507089178))-π/2
    2×atan(12.4834662765062)-π/2
    2×1.49086105979758-π/2
    2.98172211959516-1.57079632675     		φ = 1.41092579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46278283} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.515503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41092579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.840093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55882 KachelY 12875 -0.46278283 1.41092579 -26.515503 80.840093
    Oben rechts KachelX + 1 55883 KachelY 12875 -0.46273489 1.41092579 -26.512756 80.840093
    Unten links KachelX 55882 KachelY + 1 12876 -0.46278283 1.41091816 -26.515503 80.839656
    Unten rechts KachelX + 1 55883 KachelY + 1 12876 -0.46273489 1.41091816 -26.512756 80.839656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41092579-1.41091816) × R
    7.63000000003622e-06 × 6371000     		dl = 48.6107300002308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41092579-1.41091816) × R
    7.63000000003622e-06 × 6371000     		dr = 48.6107300002308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46278283--0.46273489) × cos(1.41092579) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159190395671188 × 6371000     		do = 48.6208443987334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46278283--0.46273489) × cos(1.41091816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.159197928368038 × 6371000     		du = 48.6231450782431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41092579)-sin(1.41091816))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159190395671188-0.159197928368038)×R²
    abs(-0.46273489--0.46278283)×7.53269685041524e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.53269685041524e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.53269685041524e-06×40589641000000     		ar = 2363.55065826349m²