Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55881 / 87015
↖ ↑ ↗
← S 50.692978°
W 26.518250°		 ← 193.48 m → S 50.692978°
W 26.515503°		 →
↑
193.49 m
↓
↑
193.49 m
↓
S 50.694718°
W 26.518250°		 ← 193.47 m →
37 435 m²		 S 50.694718°
W 26.515503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426342010498047 y=0.663875579833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426342010498047 × 217)
    floor (0.426342010498047 × 131072)
    floor (55881.5)     		tx = 55881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.663875579833984 × 217)
    floor (0.663875579833984 × 131072)
    floor (87015.5)     		ty = 87015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55881 / 87015 ti = "17/55881/87015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55881/87015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55881 ÷ 217
    55881 ÷ 131072     		x = 0.426338195800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87015 ÷ 217
    87015 ÷ 131072     		y = 0.663871765136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426338195800781 × 2 - 1) × π
    -0.147323608398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.46283077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.663871765136719 × 2 - 1) × π
    -0.327743530273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.02963666693919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46283077} λ = -0.46283077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.02963666693919))-π/2
    2×atan(0.357136696568124)-π/2
    2×0.343018476732904-π/2
    0.686036953465807-1.57079632675     		φ = -0.88475937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46283077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.518250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88475937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.692978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55881 KachelY 87015 -0.46283077 -0.88475937 -26.518250 -50.692978
    Oben rechts KachelX + 1 55882 KachelY 87015 -0.46278283 -0.88475937 -26.515503 -50.692978
    Unten links KachelX 55881 KachelY + 1 87016 -0.46283077 -0.88478974 -26.518250 -50.694718
    Unten rechts KachelX + 1 55882 KachelY + 1 87016 -0.46278283 -0.88478974 -26.515503 -50.694718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88475937--0.88478974) × R
    3.03699999999463e-05 × 6371000     		dl = 193.487269999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88475937--0.88478974) × R
    3.03699999999463e-05 × 6371000     		dr = 193.487269999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46283077--0.46278283) × cos(-0.88475937) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633475710315355 × 6371000     		do = 193.47978759519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46283077--0.46278283) × cos(-0.88478974) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.633452210853778 × 6371000     		du = 193.472610254748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88475937)-sin(-0.88478974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.633475710315355-0.633452210853778)×R²
    abs(-0.46278283--0.46283077)×2.34994615767592e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34994615767592e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34994615767592e-05×40589641000000     		ar = 37435.181542661m²