Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55881 / 43981
↖ ↑ ↗
← N 50.825023°
W 26.518250°		 ← 192.93 m → N 50.825023°
W 26.515503°		 →
↑
192.91 m
↓
↑
192.91 m
↓
N 50.823288°
W 26.518250°		 ← 192.94 m →
37 220 m²		 N 50.823288°
W 26.515503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426342010498047 y=0.335552215576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426342010498047 × 217)
    floor (0.426342010498047 × 131072)
    floor (55881.5)     		tx = 55881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.335552215576172 × 217)
    floor (0.335552215576172 × 131072)
    floor (43981.5)     		ty = 43981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55881 / 43981 ti = "17/55881/43981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55881/43981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55881 ÷ 217
    55881 ÷ 131072     		x = 0.426338195800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43981 ÷ 217
    43981 ÷ 131072     		y = 0.335548400878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426338195800781 × 2 - 1) × π
    -0.147323608398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.46283077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335548400878906 × 2 - 1) × π
    0.328903198242188 × 3.1415926535     		Φ = 1.03327987131031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46283077} λ = -0.46283077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03327987131031))-π/2
    2×atan(2.81026805296499)-π/2
    2×1.22893016483703-π/2
    2.45786032967405-1.57079632675     		φ = 0.88706400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46283077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.518250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88706400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.825023°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55881 KachelY 43981 -0.46283077 0.88706400 -26.518250 50.825023
    Oben rechts KachelX + 1 55882 KachelY 43981 -0.46278283 0.88706400 -26.515503 50.825023
    Unten links KachelX 55881 KachelY + 1 43982 -0.46283077 0.88703372 -26.518250 50.823288
    Unten rechts KachelX + 1 55882 KachelY + 1 43982 -0.46278283 0.88703372 -26.515503 50.823288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88706400-0.88703372) × R
    3.02799999999381e-05 × 6371000     		dl = 192.913879999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88706400-0.88703372) × R
    3.02799999999381e-05 × 6371000     		dr = 192.913879999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46283077--0.46278283) × cos(0.88706400) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.631690793152573 × 6371000     		do = 192.934627949908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46283077--0.46278283) × cos(0.88703372) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63171426653812 × 6371000     		du = 192.94179732606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88706400)-sin(0.88703372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.631690793152573-0.63171426653812)×R²
    abs(-0.46278283--0.46283077)×2.34733855474234e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34733855474234e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34733855474234e-05×40589641000000     		ar = 37220.4592030839m²