Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55881 / 17063
↖ ↑ ↗
← N 78.815307°
W 26.518250°		 ← 59.24 m → N 78.815307°
W 26.515503°		 →
↑
59.25 m
↓
↑
59.25 m
↓
N 78.814774°
W 26.518250°		 ← 59.25 m →
3 510 m²		 N 78.814774°
W 26.515503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17063 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426342010498047 y=0.130184173583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426342010498047 × 217)
    floor (0.426342010498047 × 131072)
    floor (55881.5)     		tx = 55881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130184173583984 × 217)
    floor (0.130184173583984 × 131072)
    floor (17063.5)     		ty = 17063
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55881 / 17063 ti = "17/55881/17063"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55881/17063.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55881 ÷ 217
    55881 ÷ 131072     		x = 0.426338195800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17063 ÷ 217
    17063 ÷ 131072     		y = 0.130180358886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426338195800781 × 2 - 1) × π
    -0.147323608398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.46283077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130180358886719 × 2 - 1) × π
    0.739639282226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.32364533528298
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46283077} λ = -0.46283077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32364533528298))-π/2
    2×atan(10.2128357424454)-π/2
    2×1.47319146592796-π/2
    2.94638293185592-1.57079632675     		φ = 1.37558661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46283077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.518250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37558661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.815307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55881 KachelY 17063 -0.46283077 1.37558661 -26.518250 78.815307
    Oben rechts KachelX + 1 55882 KachelY 17063 -0.46278283 1.37558661 -26.515503 78.815307
    Unten links KachelX 55881 KachelY + 1 17064 -0.46283077 1.37557731 -26.518250 78.814774
    Unten rechts KachelX + 1 55882 KachelY + 1 17064 -0.46278283 1.37557731 -26.515503 78.814774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37558661-1.37557731) × R
    9.30000000010089e-06 × 6371000     		dl = 59.2503000006428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37558661-1.37557731) × R
    9.30000000010089e-06 × 6371000     		dr = 59.2503000006428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46283077--0.46278283) × cos(1.37558661) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.193972272872777 × 6371000     		do = 59.2441249816794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46283077--0.46278283) × cos(1.37557731) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.193981396229599 × 6371000     		du = 59.2469114896881m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37558661)-sin(1.37557731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193972272872777-0.193981396229599)×R²
    abs(-0.46278283--0.46283077)×9.12335682212717e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.12335682212717e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.12335682212717e-06×40589641000000     		ar = 3510.31472904624m²