Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55881 / 12954
↖ ↑ ↗
← N 80.805487°
W 26.518250°		 ← 48.80 m → N 80.805487°
W 26.515503°		 →
↑
48.80 m
↓
↑
48.80 m
↓
N 80.805049°
W 26.518250°		 ← 48.81 m →
2 382 m²		 N 80.805049°
W 26.515503°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426342010498047 y=0.0988349914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426342010498047 × 217)
    floor (0.426342010498047 × 131072)
    floor (55881.5)     		tx = 55881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0988349914550781 × 217)
    floor (0.0988349914550781 × 131072)
    floor (12954.5)     		ty = 12954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55881 / 12954 ti = "17/55881/12954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55881/12954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55881 ÷ 217
    55881 ÷ 131072     		x = 0.426338195800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12954 ÷ 217
    12954 ÷ 131072     		y = 0.0988311767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426338195800781 × 2 - 1) × π
    -0.147323608398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.46283077
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0988311767578125 × 2 - 1) × π
    0.802337646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.52061805582179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46283077} λ = -0.46283077}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52061805582179))-π/2
    2×atan(12.4362806044098)-π/2
    2×1.49055906742633-π/2
    2.98111813485266-1.57079632675     		φ = 1.41032181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46283077} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.518250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41032181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.805487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55881 KachelY 12954 -0.46283077 1.41032181 -26.518250 80.805487
    Oben rechts KachelX + 1 55882 KachelY 12954 -0.46278283 1.41032181 -26.515503 80.805487
    Unten links KachelX 55881 KachelY + 1 12955 -0.46283077 1.41031415 -26.518250 80.805049
    Unten rechts KachelX + 1 55882 KachelY + 1 12955 -0.46278283 1.41031415 -26.515503 80.805049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41032181-1.41031415) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dl = 48.8018599990692m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41032181-1.41031415) × R
    7.65999999985389e-06 × 6371000     		dr = 48.8018599990692m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46283077--0.46278283) × cos(1.41032181) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.159786644586472 × 6371000     		do = 48.8029541649646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46283077--0.46278283) × cos(1.41031415) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.159794206162833 × 6371000     		du = 48.8052636650204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41032181)-sin(1.41031415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159786644586472-0.159794206162833)×R²
    abs(-0.46278283--0.46283077)×7.56157636169763e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.56157636169763e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.56157636169763e-06×40589641000000     		ar = 2381.73129076426m²