Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55880 / 15557
↖ ↑ ↗
← N 79.589868°
W 26.520996°		 ← 55.18 m → N 79.589868°
W 26.518250°		 →
↑
55.17 m
↓
↑
55.17 m
↓
N 79.589372°
W 26.520996°		 ← 55.18 m →
3 044 m²		 N 79.589372°
W 26.518250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426334381103516 y=0.118694305419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426334381103516 × 217)
    floor (0.426334381103516 × 131072)
    floor (55880.5)     		tx = 55880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118694305419922 × 217)
    floor (0.118694305419922 × 131072)
    floor (15557.5)     		ty = 15557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55880 / 15557 ti = "17/55880/15557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55880/15557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55880 ÷ 217
    55880 ÷ 131072     		x = 0.42633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15557 ÷ 217
    15557 ÷ 131072     		y = 0.118690490722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.1473388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.46287870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118690490722656 × 2 - 1) × π
    0.762619018554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.39583830611079
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46287870} λ = -0.46287870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39583830611079))-π/2
    2×atan(10.9773966216046)-π/2
    2×1.47995078764243-π/2
    2.95990157528486-1.57079632675     		φ = 1.38910525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46287870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.520996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38910525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.589868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55880 KachelY 15557 -0.46287870 1.38910525 -26.520996 79.589868
    Oben rechts KachelX + 1 55881 KachelY 15557 -0.46283077 1.38910525 -26.518250 79.589868
    Unten links KachelX 55880 KachelY + 1 15558 -0.46287870 1.38909659 -26.520996 79.589372
    Unten rechts KachelX + 1 55881 KachelY + 1 15558 -0.46283077 1.38909659 -26.518250 79.589372
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38910525-1.38909659) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dl = 55.1728599999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38910525-1.38909659) × R
    8.65999999999367e-06 × 6371000     		dr = 55.1728599999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46287870--0.46283077) × cos(1.38910525) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.180693071882499 × 6371000     		do = 55.1768032369456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46287870--0.46283077) × cos(1.38909659) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.180701589328082 × 6371000     		du = 55.1794041414194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38910525)-sin(1.38909659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180693071882499-0.180701589328082)×R²
    abs(-0.46283077--0.46287870)×8.51744558358347e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.51744558358347e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.51744558358347e-06×40589641000000     		ar = 3044.33378988197m²