Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 55879 / 43721
↖ ↑ ↗
← N 51.273944°
W 26.523743°		 ← 191.07 m → N 51.273944°
W 26.520996°		 →
↑
191.07 m
↓
↑
191.07 m
↓
N 51.272226°
W 26.523743°		 ← 191.08 m →
36 508 m²		 N 51.272226°
W 26.520996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426326751708984 y=0.333568572998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426326751708984 × 217)
    floor (0.426326751708984 × 131072)
    floor (55879.5)     		tx = 55879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333568572998047 × 217)
    floor (0.333568572998047 × 131072)
    floor (43721.5)     		ty = 43721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55879 / 43721 ti = "17/55879/43721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55879/43721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55879 ÷ 217
    55879 ÷ 131072     		x = 0.426322937011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43721 ÷ 217
    43721 ÷ 131072     		y = 0.333564758300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426322937011719 × 2 - 1) × π
    -0.147354125976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.46292664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333564758300781 × 2 - 1) × π
    0.332870483398438 × 3.1415926535     		Φ = 1.04574346521152
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46292664} λ = -0.46292664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04574346521152))-π/2
    2×atan(2.84551327756218)-π/2
    2×1.23284773687483-π/2
    2.46569547374965-1.57079632675     		φ = 0.89489915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46292664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.523743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89489915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.273944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55879 KachelY 43721 -0.46292664 0.89489915 -26.523743 51.273944
    Oben rechts KachelX + 1 55880 KachelY 43721 -0.46287870 0.89489915 -26.520996 51.273944
    Unten links KachelX 55879 KachelY + 1 43722 -0.46292664 0.89486916 -26.523743 51.272226
    Unten rechts KachelX + 1 55880 KachelY + 1 43722 -0.46287870 0.89486916 -26.520996 51.272226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89489915-0.89486916) × R
    2.99899999999242e-05 × 6371000     		dl = 191.066289999517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89489915-0.89486916) × R
    2.99899999999242e-05 × 6371000     		dr = 191.066289999517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46292664--0.46287870) × cos(0.89489915) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625597497295809 × 6371000     		do = 191.073578553817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46292664--0.46287870) × cos(0.89486916) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.625620893592824 × 6371000     		du = 191.080724385145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89489915)-sin(0.89486916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.625597497295809-0.625620893592824)×R²
    abs(-0.46287870--0.46292664)×2.33962970141999e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33962970141999e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33962970141999e-05×40589641000000     		ar = 36508.4024378146m²