Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55879 / 43607
↖ ↑ ↗
← N 51.469408°
W 26.523743°		 ← 190.26 m → N 51.469408°
W 26.520996°		 →
↑
190.24 m
↓
↑
190.24 m
↓
N 51.467697°
W 26.523743°		 ← 190.27 m →
36 195 m²		 N 51.467697°
W 26.520996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426326751708984 y=0.332698822021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426326751708984 × 217)
    floor (0.426326751708984 × 131072)
    floor (55879.5)     		tx = 55879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332698822021484 × 217)
    floor (0.332698822021484 × 131072)
    floor (43607.5)     		ty = 43607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55879 / 43607 ti = "17/55879/43607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55879/43607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55879 ÷ 217
    55879 ÷ 131072     		x = 0.426322937011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43607 ÷ 217
    43607 ÷ 131072     		y = 0.332695007324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426322937011719 × 2 - 1) × π
    -0.147354125976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.46292664
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332695007324219 × 2 - 1) × π
    0.334609985351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.05120827176821
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46292664} λ = -0.46292664}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05120827176821))-π/2
    2×atan(2.86110602404487)-π/2
    2×1.23455347954457-π/2
    2.46910695908915-1.57079632675     		φ = 0.89831063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46292664} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.523743°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89831063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.469408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55879 KachelY 43607 -0.46292664 0.89831063 -26.523743 51.469408
    Oben rechts KachelX + 1 55880 KachelY 43607 -0.46287870 0.89831063 -26.520996 51.469408
    Unten links KachelX 55879 KachelY + 1 43608 -0.46292664 0.89828077 -26.523743 51.467697
    Unten rechts KachelX + 1 55880 KachelY + 1 43608 -0.46287870 0.89828077 -26.520996 51.467697
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89831063-0.89828077) × R
    2.98600000000482e-05 × 6371000     		dl = 190.238060000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89831063-0.89828077) × R
    2.98600000000482e-05 × 6371000     		dr = 190.238060000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46292664--0.46287870) × cos(0.89831063) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.622932409594325 × 6371000     		do = 190.259592170425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46292664--0.46287870) × cos(0.89828077) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.622955768067913 × 6371000     		du = 190.266726449506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89831063)-sin(0.89828077))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622932409594325-0.622955768067913)×R²
    abs(-0.46287870--0.46292664)×2.33584735873649e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33584735873649e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33584735873649e-05×40589641000000     		ar = 36195.2943193261m²