Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55877 / 15543
↖ ↑ ↗
← N 79.596814°
W 26.529236°		 ← 55.14 m → N 79.596814°
W 26.526489°		 →
↑
55.11 m
↓
↑
55.11 m
↓
N 79.596318°
W 26.529236°		 ← 55.14 m →
3 039 m²		 N 79.596318°
W 26.526489°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426311492919922 y=0.118587493896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426311492919922 × 217)
    floor (0.426311492919922 × 131072)
    floor (55877.5)     		tx = 55877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118587493896484 × 217)
    floor (0.118587493896484 × 131072)
    floor (15543.5)     		ty = 15543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55877 / 15543 ti = "17/55877/15543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55877/15543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55877 ÷ 217
    55877 ÷ 131072     		x = 0.426307678222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15543 ÷ 217
    15543 ÷ 131072     		y = 0.118583679199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426307678222656 × 2 - 1) × π
    -0.147384643554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.46302251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118583679199219 × 2 - 1) × π
    0.762832641601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.39650942270547
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46302251} λ = -0.46302251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39650942270547))-π/2
    2×atan(10.9847662072927)-π/2
    2×1.4800114006957-π/2
    2.9600228013914-1.57079632675     		φ = 1.38922647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46302251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.529236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38922647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.596814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55877 KachelY 15543 -0.46302251 1.38922647 -26.529236 79.596814
    Oben rechts KachelX + 1 55878 KachelY 15543 -0.46297458 1.38922647 -26.526489 79.596814
    Unten links KachelX 55877 KachelY + 1 15544 -0.46302251 1.38921782 -26.529236 79.596318
    Unten rechts KachelX + 1 55878 KachelY + 1 15544 -0.46297458 1.38921782 -26.526489 79.596318
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38922647-1.38921782) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dl = 55.1091500003469m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38922647-1.38921782) × R
    8.65000000005445e-06 × 6371000     		dr = 55.1091500003469m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46302251--0.46297458) × cos(1.38922647) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.180573845892973 × 6371000     		do = 55.1403961467553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46302251--0.46297458) × cos(1.38921782) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.180582353692585 × 6371000     		du = 55.1429941057157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38922647)-sin(1.38921782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180573845892973-0.180582353692585)×R²
    abs(-0.46297458--0.46302251)×8.50779961217296e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.50779961217296e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.50779961217296e-06×40589641000000     		ar = 3038.81194800314m²