Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 55876 / 15596
↖ ↑ ↗
← N 79.570495°
W 26.531982°		 ← 55.29 m → N 79.570495°
W 26.529236°		 →
↑
55.30 m
↓
↑
55.30 m
↓
N 79.569998°
W 26.531982°		 ← 55.29 m →
3 058 m²		 N 79.569998°
W 26.529236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 55876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.426303863525391 y=0.118991851806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.426303863525391 × 217)
    floor (0.426303863525391 × 131072)
    floor (55876.5)     		tx = 55876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118991851806641 × 217)
    floor (0.118991851806641 × 131072)
    floor (15596.5)     		ty = 15596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 55876 / 15596 ti = "17/55876/15596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/55876/15596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 55876 ÷ 217
    55876 ÷ 131072     		x = 0.426300048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15596 ÷ 217
    15596 ÷ 131072     		y = 0.118988037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.426300048828125 × 2 - 1) × π
    -0.14739990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.46307045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.118988037109375 × 2 - 1) × π
    0.76202392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.3939687670256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46307045} λ = -0.46307045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3939687670256))-π/2
    2×atan(10.9568931215862)-π/2
    2×1.47978172587926-π/2
    2.95956345175852-1.57079632675     		φ = 1.38876713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46307045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.531982°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38876713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.570495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 55876 KachelY 15596 -0.46307045 1.38876713 -26.531982 79.570495
    Oben rechts KachelX + 1 55877 KachelY 15596 -0.46302251 1.38876713 -26.529236 79.570495
    Unten links KachelX 55876 KachelY + 1 15597 -0.46307045 1.38875845 -26.531982 79.569998
    Unten rechts KachelX + 1 55877 KachelY + 1 15597 -0.46302251 1.38875845 -26.529236 79.569998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38876713-1.38875845) × R
    8.67999999987212e-06 × 6371000     		dl = 55.3002799991853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38876713-1.38875845) × R
    8.67999999987212e-06 × 6371000     		dr = 55.3002799991853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46307045--0.46302251) × cos(1.38876713) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.181025615934318 × 6371000     		do = 55.2898827057226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46307045--0.46302251) × cos(1.38875845) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.181034152519847 × 6371000     		du = 55.292489998675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38876713)-sin(1.38875845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181025615934318-0.181034152519847)×R²
    abs(-0.46302251--0.46307045)×8.53658552951719e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.53658552951719e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.53658552951719e-06×40589641000000     		ar = 3057.61808693634m²